Calcule: lim x 0 e^x-e^-xx.

Passo 1

Vamos calcular o limite limx 0 e^x-e^-xx. Esse problema envolve entender como as funções exponenciais se comportam perto de zero. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão em série das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função e^x pode ser escrita como uma série de potências (série de Taylor) em torno de x = 0. A série para e^x é:
e^x = 1 + x + x^22! + x^33! + cdots
De forma semelhante, a série para e^-x é:
e^-x = 1 - x + x^22! - x^33! + cdots

Passo 3

Agora, vamos subtrair e^-x de e^x:
e^x - e^-x = (1 + x + x^22! + x^33! + cdots) - (1 - x + x^22! - x^33! + cdots)
As constantes (1) e os termos com potências pares de x ( x^2, x^4, dots) se cancelam, restando:
e^x - e^-x = 2x + 2x^33! + cdots

Passo 4

Agora, vamos dividir essa diferença por x:
e^x - e^-xx = 2x + 2x^33! + cdotsx = 2 + 2x^23! + cdots

Passo 5

Quando x se aproxima de 0, os termos que contêm x^2, x^4 etc., tornam-se muito pequenos e podem ser ignorados. Portanto, o limite simplifica para:
limx 0 e^x-e^-xx = 2

Resposta

O limite é 2.

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