Calcule:
.
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse problema envolve entender como as funções exponenciais se comportam perto de zero. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão em série das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser escrita como uma série de potências (série de Taylor) em torno de
. A série para
é:
De forma semelhante, a série para
é:
Passo 3
Agora, vamos subtrair
de
:
As constantes (1) e os termos com potências pares de
(
) se cancelam, restando:
Passo 4
Agora, vamos dividir essa diferença por
:
Passo 5
Quando
se aproxima de 0, os termos que contêm
,
etc., tornam-se muito pequenos e podem ser ignorados. Portanto, o limite simplifica para:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule:
.
Mostre que existe um número real
tal que
.
Especifique o dominio da função:
Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
, sendo