Calcule: .

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse problema envolve entender como as funções exponenciais se comportam perto de zero. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão em série das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função pode ser escrita como uma série de potências (série de Taylor) em torno de . A série para é:
De forma semelhante, a série para é:

Passo 3

Agora, vamos subtrair de :
As constantes (1) e os termos com potências pares de ( ) se cancelam, restando:

Passo 4

Agora, vamos dividir essa diferença por :

Passo 5

Quando se aproxima de 0, os termos que contêm , etc., tornam-se muito pequenos e podem ser ignorados. Portanto, o limite simplifica para:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Calcule: .
Mostre que existe um número real tal que .
Especifique o dominio da função:
Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique. , sendo