Calcule lim (x, y) (1,1) x^2-2 x+1x^2-y^2-2 x+2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (1,1) x^2-2 x+1x^2-y^2-2 x+2 y. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Multivariable, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função quando (x, y) se aproxima de (1,1) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador da fração. O numerador é x^2-2x+1, que pode ser fatorado como (x-1)^2. Isso facilita a visualização de como a função se comporta perto de x=1.

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador: x^2-y^2-2x+2y. Podemos reorganizar isso para:
x^2 - 2x - y^2 + 2y = (x^2 - 2x) - (y^2 - 2y)
Cada parte pode ser fatorada:
x^2 - 2x = x(x - 2) y^2 - 2y = y(y - 2)
Então, o denominador fica:
x(x - 2) - y(y - 2)
Mas isso ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos reescrever o denominador de uma maneira diferente:
x^2 - y^2 - 2x + 2y = (x^2 - y^2) - 2(x - y)
Sabemos que x^2 - y^2 = (x - y)(x + y). Substituindo:
(x - y)(x + y) - 2(x - y) = (x - y)(x + y - 2)
Então, o denominador fatorado é (x - y)(x + y - 2).

Passo 5

Agora, nossa expressão original fica:
(x - 1)^2(x - y)(x + y - 2)
Queremos ver o que acontece quando (x, y) (1,1). Inicialmente, tanto o numerador quanto o denominador vão para zero, resultando em uma forma indeterminada 00. Isso significa que precisamos analisar o limite por diferentes caminhos para ver se ele existe ou não.

Passo 6

Primeiro caminho: Vamos aproximar (x, y) de (1,1) ao longo da linha y = 1.
  • Substituindo y = 1 na expressão:
(x - 1)^2(x - 1)(x + 1 - 2) = (x - 1)^2(x - 1)(x - 1) = (x - 1)^2(x - 1)^2 = 1
Então, ao longo de y = 1, o limite é 1.

Passo 7

Segundo caminho: Vamos aproximar (x, y) de (1,1) ao longo da linha y = x.
  • Substituindo y = x na expressão:
(x - 1)^2(x - x)(x + x - 2) = (x - 1)^20 cdot (2x - 2) = (x - 1)^20
Aqui, estamos dividindo algo que tende a zero por zero, o que é indefinido. Isso já sugere que o limite pode depender do caminho escolhido.

Passo 8

Terceiro caminho: Vamos aproximar (x, y) de (1,1) ao longo da linha y = -x + 2.
  • Substituindo y = -x + 2 na expressão:
(x - 1)^2(x - (-x + 2))(x + (-x + 2) - 2) = (x - 1)^2(2x - 2)(0) = (x - 1)^20
Novamente, temos uma divisão por zero, indicando que o limite pode variar dependendo da direção.

Passo 9

Como observamos que diferentes caminhos levam a resultados diferentes (um dando 1 e outros resultando em indefinição), isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções. Para que o limite exista, ele deve ser o mesmo independente do caminho escolhido para se aproximar do ponto.

Resposta

O limite lim (x, y) (1,1) x^2-2 x+1x^2-y^2-2 x+2 y não existe, pois depende do caminho pelo qual (x, y) se aproxima de (1,1).

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