Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Multivariable, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador da fração. O numerador é
, que pode ser fatorado como
. Isso facilita a visualização de como a função se comporta perto de
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador:
. Podemos reorganizar isso para:
Cada parte pode ser fatorada:
Então, o denominador fica:
Mas isso ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Vamos reescrever o denominador de uma maneira diferente:
Sabemos que
. Substituindo:
Então, o denominador fatorado é
.
Passo 5
Agora, nossa expressão original fica:
Queremos ver o que acontece quando
. Inicialmente, tanto o numerador quanto o denominador vão para zero, resultando em uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos analisar o limite por diferentes caminhos para ver se ele existe ou não.
Passo 6
Primeiro caminho: Vamos aproximar
de
ao longo da linha
.
- Substituindo
na expressão:
Então, ao longo de
, o limite é
.
Passo 7
Segundo caminho: Vamos aproximar
de
ao longo da linha
.
- Substituindo
na expressão:
Aqui, estamos dividindo algo que tende a zero por zero, o que é indefinido. Isso já sugere que o limite pode depender do caminho escolhido.
Passo 8
Terceiro caminho: Vamos aproximar
de
ao longo da linha
.
- Substituindo
na expressão:
Novamente, temos uma divisão por zero, indicando que o limite pode variar dependendo da direção.
Passo 9
Como observamos que diferentes caminhos levam a resultados diferentes (um dando
e outros resultando em indefinição), isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções. Para que o limite exista, ele deve ser o mesmo independente do caminho escolhido para se aproximar do ponto.
Resposta
O limite
não existe, pois depende do caminho pelo qual
se aproxima de
.
Exercícios relacionados
Expresse a função como a soma de uma série de potências usando frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.
Expresse a função como a soma de uma série de potências usando frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.
En el plano oxy, sea C el circulo de centro en el origen y radio 5. Sea la función definida en todo el plano f tal que
. Tratandose de polinomios la función es contínua en el interior de C y en el exterior de C. Se desea analizar la frontera F de C.
Mostrar que hay puntos de en que la función es continua y hallarlos.
Mostrar que hay puntos de
En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales: