En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales:
f(x, y) = log(x^2 + y^2)

Passo 1

Então, a gente tem uma função e a tarefa é verificar se as derivadas parciais mistas dessa função são iguais. Isso envolve calcular as derivadas parciais em relação a e em diferentes ordens e ver se dá o mesmo resultado. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso significa que vamos tratar como uma constante e derivar apenas em relação a .
A função é .
A derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar a derivada mista .
Temos .
Aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a para encontrar :

Resposta

As derivadas parciais mistas são iguais:

Exercícios relacionados

En el plano oxy, sea C el circulo de centro en el origen y radio 5. Sea la función definida en todo el plano f tal que f(x, y) = { x^2 + y^2, se (x, y) ∈ C; x^2 + y + 12, se (x, y) não ∈ C }. Tratandose de polinomios la función es contínua en el interior de C y en el exterior de C. Se desea analizar la frontera F de C.
Mostrar que hay puntos de F en que la función es continua y hallarlos.
Calcule lim (x, y) (1,1) x^2-2 x+1x^2-y^2-2 x+2 y
Hallar las derivadas parciales segundas de:
f(x, y) = e^(-x) * cos(x) * sen(y)
Calcule lim (x, y, z) (0,0,0) x^4+z^3x^2+y^2+z^2