En el plano oxy, sea C el circulo de centro en el origen y radio 5. Sea la función definida en todo el plano f tal que
. Tratandose de polinomios la función es contínua en el interior de C y en el exterior de C. Se desea analizar la frontera F de C.
Mostrar que hay puntos de
en que la función es continua y hallarlos.
Mostrar que hay puntos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um círculo
no plano
com centro na origem e raio 5. Temos uma função
que muda de expressão dependendo de onde o ponto
está em relação a esse círculo. Queremos analisar a fronteira
desse círculo e descobrir em quais pontos da fronteira a função
é contínua.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função em um ponto e como identificar os pontos onde as duas expressões da função se igualam na fronteira.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a fronteira
do círculo
. Como
tem centro na origem e raio 5, a equação do círculo é:
A fronteira
é justamente esse círculo.
Passo 3
A função
é definida de duas formas:
Dentro de
, a função é
e fora é
. A continuidade na fronteira
depende de as duas expressões se igualarem nessa fronteira.
Passo 4
Para a função ser contínua em um ponto da fronteira
, os limites das duas expressões da função quando se aproxima da fronteira devem ser iguais. Ou seja:
Simplificando essa equação:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Com os valores de
encontrados, vamos encontrar os valores correspondentes de
na fronteira
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Então, os pontos na fronteira
onde a função
é contínua são:
Resposta
A função
é contínua na fronteira
nos seguintes pontos:
,
,
e
.
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