En el plano oxy, sea C el circulo de centro en el origen y radio 5. Sea la función definida en todo el plano f tal que f(x, y) = { x^2 + y^2, se (x, y) ∈ C; x^2 + y + 12, se (x, y) não ∈ C }. Tratandose de polinomios la función es contínua en el interior de C y en el exterior de C. Se desea analizar la frontera F de C.
Mostrar que hay puntos de F en que la función es continua y hallarlos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um círculo no plano com centro na origem e raio 5. Temos uma função que muda de expressão dependendo de onde o ponto está em relação a esse círculo. Queremos analisar a fronteira desse círculo e descobrir em quais pontos da fronteira a função é contínua.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função em um ponto e como identificar os pontos onde as duas expressões da função se igualam na fronteira.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a fronteira do círculo . Como tem centro na origem e raio 5, a equação do círculo é:
A fronteira é justamente esse círculo.

Passo 3

A função é definida de duas formas:
Dentro de , a função é e fora é . A continuidade na fronteira depende de as duas expressões se igualarem nessa fronteira.

Passo 4

Para a função ser contínua em um ponto da fronteira , os limites das duas expressões da função quando se aproxima da fronteira devem ser iguais. Ou seja:
Simplificando essa equação:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Com os valores de encontrados, vamos encontrar os valores correspondentes de na fronteira :
Para :
Para :

Passo 7

Então, os pontos na fronteira onde a função é contínua são:

Resposta

A função é contínua na fronteira nos seguintes pontos: , , e .

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