Expresse a função como a soma de uma série de potências usando frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressar a função
como a soma de uma série de potências usando frações parciais e encontrar o intervalo de convergência. Para isso, vamos precisar usar frações parciais e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
.
Passo 3
Agora que temos os fatores, vamos decompor a fração em frações parciais:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Escolhemos valores de
que simplificam a equação.
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Com
e
, a decomposição fica:
Passo 7
Vamos reescrever cada termo para facilitar a expressão em série de potências.
Passo 8
Sabemos que a série geométrica
para
. Aplicando isso:
Passo 9
Juntando as duas séries:
Passo 10
Agora, determinamos o intervalo de convergência. As séries geométricas convergem quando
e
.
- De
:
- De
:
Como
, o intervalo de convergência será
.
Resposta
A função pode ser expressa como:
E o intervalo de convergência é
.
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Hallar las derivadas parciales de:
Calcule
En el plano oxy, sea C el circulo de centro en el origen y radio 5. Sea la función definida en todo el plano f tal que
. Tratandose de polinomios la función es contínua en el interior de C y en el exterior de C. Se desea analizar la frontera F de C.
Mostrar que hay puntos de en que la función es continua y hallarlos.
Mostrar que hay puntos de