Expresse a função como a soma de uma série de potências usando frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para pegar a função e escrevê-la como a soma de uma série de potências usando frações parciais. Além disso, precisamos descobrir o intervalo de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor frações parciais e como transformar essas frações em séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da função para facilitar a decomposição em frações parciais. O denominador é . Vamos fatorar esse polinômio:
Passo 3
Com o denominador fatorado, nossa função fica:
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Ou seja, vamos encontrar números e tais que:
Passo 4
Para encontrar os valores de e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação. Primeiro, vamos deixar :
Em seguida, deixamos :
Passo 5
Com os valores de e encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 6
Agora, vamos transformar cada uma dessas frações em uma série de potências. Para isso, usamos a expansão em série geométrica, que é válida quando a razão da série (nesse caso, ou ) tem módulo menor que 1.
Primeiro, para , reescrevemos:
Em seguida, para :
Passo 7
Agora, juntando as duas séries, temos:
Podemos simplificar isso como:
Passo 8
Por fim, precisamos determinar o intervalo de convergência da série. As duas séries geométricas que obtivemos convergem quando suas razões são menores que 1 em módulo:
Para , converge quando .
Para , converge quando , ou seja, .
O intervalo de convergência será a interseção desses dois intervalos, ou seja, .
Resposta
A função pode ser expressa como a soma da série de potências: