Resolva as integrais de funções irracionais:
(d) integral x(1+x)^23 d x
6
Resolva as integrais de funções trigonométricas:
(a) integral sen^3(x) d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral . Essa é uma integral de funções trigonométricas, mais especificamente envolvendo potências de seno. Para resolver isso, vamos precisar usar a identidade trigonométrica que relaciona o seno ao cosseno e também aplicar uma técnica chamada decomposição de potências ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma potência ímpar de seno, como sin^3(x) = sin^2(x) cdot sin(x) = (1 - cos^2(x)) cdot sin(x) , podemos separar uma potência ímpar do seno e usar a identidade . Então, escrevemos:

Passo 3

Agora, a intenção é preparar a integral para uma substituição. Vamos reescrever a integral usando a expressão que encontramos:
integral sin^3(x) , dx = integral (1 - cos^2(x)) cdot sin(x) , dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja dudx = -sin(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx Rightarrow -du = sin(x) , dx . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integral (1 - u^2) cdot (-du) = -integral (1 - u^2) , du = -integral 1 , du + integral u^2 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
-integral 1 , du = -u integral u^2 , du = u^33
Então, a expressão fica:
- u + u^33 + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos - cos(x) + cos^3(x)3 + C de volta para termos de . Lembrando que :

Resposta

A integral de integral sin^3(x) , dx = -cos(x) + cos^3(x)3 + C é:

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