Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função perto do ponto onde queremos o limite.
Passo 2
Primeiro, observamos a função . Queremos entender o que acontece com ela quando e se aproximam de . Uma boa estratégia é tentar estimar o valor absoluto da função para ver se ela fica próxima de zero.
Passo 3
Vamos calcular o valor absoluto da função:
Isso nos ajuda a trabalhar com valores positivos e simplificar a análise.
Passo 4
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos |x^2 y| = |x|^2 |y|. No denominador, raizx^4 + y^4 >= raiz0 = 0, mas queremos relacionar isso com |x| e |y|.
Passo 5
Perceba que x^4 + y^4 >= x^4 + y^42 >= (x^2)^2 + (y^2)^22 >= (|x|^2 + |y|^22)^2 por uma desigualdade conhecida. Isso nos ajuda a encontrar uma estimativa inferior para o denominador.
Passo 6
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
raizx^4 + y^4 >= |x|^2 + |y|^22
Agora, podemos usar essa desigualdade para estimar o valor da função.
Passo 7
Substituindo a estimativa no valor absoluto da função:
Quando (x, y) (0,0), tanto |x| quanto |y| tendem a 0. Portanto, o numerador 2|x|^2 |y| tende a 0 mais rapidamente que o denominador |x|^2 + |y|^2. Assim, o quociente tende a 0.