Calcule lim (x, y) (0,0) x^2 yraizx^4+y^4

Passo 1

Vamos calcular o limite de x^2 yraizx^4+y^4 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse problema está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função perto do ponto onde queremos o limite.

Passo 2

Primeiro, observamos a função x^2 yraizx^4+y^4. Queremos entender o que acontece com ela quando x e y se aproximam de 0. Uma boa estratégia é tentar estimar o valor absoluto da função para ver se ela fica próxima de zero.

Passo 3

Vamos calcular o valor absoluto da função:
| x^2 yraizx^4+y^4 |
Isso nos ajuda a trabalhar com valores positivos e simplificar a análise.

Passo 4

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos |x^2 y| = |x|^2 |y|. No denominador, raizx^4 + y^4 >= raiz0 = 0, mas queremos relacionar isso com |x| e |y|.

Passo 5

Perceba que x^4 + y^4 >= x^4 + y^42 >= (x^2)^2 + (y^2)^22 >= (|x|^2 + |y|^22)^2 por uma desigualdade conhecida. Isso nos ajuda a encontrar uma estimativa inferior para o denominador.

Passo 6

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:
raizx^4 + y^4 >= |x|^2 + |y|^22
Agora, podemos usar essa desigualdade para estimar o valor da função.

Passo 7

Substituindo a estimativa no valor absoluto da função:
| x^2 yraizx^4+y^4 | <= |x|^2 |y||x|^2 + |y|^22 = 2|x|^2 |y||x|^2 + |y|^2
Agora, vamos analisar esse limite.

Passo 8

Quando (x, y) (0,0), tanto |x| quanto |y| tendem a 0. Portanto, o numerador 2|x|^2 |y| tende a 0 mais rapidamente que o denominador |x|^2 + |y|^2. Assim, o quociente tende a 0.

Resposta

Portanto, o limite é 0.
lim (x, y) (0,0) x^2 yraizx^4+y^4 = 0

Exercícios relacionados

Nos problemas 21-26, resolva os problemas de valor inicial dados.
3 x = 0
(e^x + y) dx + (2 + x + y e^y) dy = 0, y(0) = 1
Calcule lim (x, y) (0,0) yx+y
Obtenha o maior subconjunto do R^2 ou R^3, no qual a função f(x, y) = { (x^4 * y^6) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) } é contínua
2,5 Determine o maior conjunto no qual a função f, dada abaixo, é contínua. Justifique sua resposta.
f(x, y) = { xy / (x^2 + xy + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }