Determine o maior conjunto no qual a função
, dada abaixo, é contínua. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar o maior conjunto onde a função
é contínua. A função está definida da seguinte forma:
Vamos usar conceitos de continuidade e limites para descobrir onde essa função se comporta bem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “buracos” ali. Para funções de duas variáveis, isso significa que o limite da função quando
se aproxima de um ponto
deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Observando a função
, vemos que ela está definida de duas maneiras:
-
Para qualquer ponto
: Nesse caso, o denominadornunca é zero, exceto possivelmente em . Portanto, a função está bem definida e contínua em todos os pontos que não são . -
No ponto
: Aqui, precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos calcular o limite dequando se aproxima de e ver se esse limite é igual a .
Passo 4
Vamos calcular o limite de
quando
. Uma maneira de verificar se o limite existe é abordar o ponto
por diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo resultado.
Exemplo 1: Caminho
Exemplo 2: Caminho
Até agora, o limite parece ser 0.
Passo 5
Vamos tentar um caminho diferente para ver se o limite permanece o mesmo. Vamos escolher
, onde
é uma constante qualquer.
Perceba que o resultado depende do valor de
. Ou seja, dependendo do caminho que a gente escolhe, o limite pode ser diferente. Isso significa que o limite de
quando
não existe.
Passo 6
Como o limite de
quando
se aproxima de
não existe, a função
não é contínua nesse ponto. Porém, como vimos no Passo 3, ela é contínua em todos os outros pontos do plano.
Resposta
O maior conjunto onde a função
é contínua é todo o plano
menos o ponto
. Em notação matemática:
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Obtenha o maior subconjunto do
ou
, no qual a função
é contínua
Calcule
Represente graficamente o domínio da função dada por
Calcule, caso exista,
.