2,5 Determine o maior conjunto no qual a função f, dada abaixo, é contínua. Justifique sua resposta.
f(x, y) = { xy / (x^2 + xy + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar o maior conjunto onde a função é contínua. A função está definida da seguinte forma:
Vamos usar conceitos de continuidade e limites para descobrir onde essa função se comporta bem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “buracos” ali. Para funções de duas variáveis, isso significa que o limite da função quando se aproxima de um ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Observando a função , vemos que ela está definida de duas maneiras:
  1. Para qualquer ponto :
    Nesse caso, o denominador nunca é zero, exceto possivelmente em . Portanto, a função está bem definida e contínua em todos os pontos que não são .
  2. No ponto :
    Aqui, precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a .

Passo 4

Vamos calcular o limite de quando . Uma maneira de verificar se o limite existe é abordar o ponto por diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo resultado.
Exemplo 1: Caminho
Exemplo 2: Caminho
Até agora, o limite parece ser 0.

Passo 5

Vamos tentar um caminho diferente para ver se o limite permanece o mesmo. Vamos escolher , onde é uma constante qualquer.
Perceba que o resultado depende do valor de . Ou seja, dependendo do caminho que a gente escolhe, o limite pode ser diferente. Isso significa que o limite de quando não existe.

Passo 6

Como o limite de quando se aproxima de não existe, a função não é contínua nesse ponto. Porém, como vimos no Passo 3, ela é contínua em todos os outros pontos do plano.

Resposta

O maior conjunto onde a função é contínua é todo o plano menos o ponto . Em notação matemática:

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Obtenha o maior subconjunto do R^2 ou R^3, no qual a função f(x, y) = { (x^4 * y^6) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) } é contínua
Calcule lim (x, y) (0,0) x^2 yraizx^4+y^4
Represente graficamente o domínio da função dada por
f(x, y) = raiz(y - x)
quadrado
Calcule, caso exista, lim (x, y) (1,0) x cos (y)x^2+1. square