Obtenha o maior subconjunto do
ou
, no qual a função
é contínua
Passo 1
Resumo do Problema:
Temos uma função definida em
e queremos descobrir o maior subconjunto desse espaço onde a função é contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites em várias variáveis.
Temos uma função
Passo 2
Entendendo a Função:
A função dada é:
A função dada é:
Vamos analisar onde essa função é contínua.
Passo 3
Continuidade em Pontos Diferentes de
:
Para todos os pontos diferentes de
, o denominador
não é zero. Como estamos dividindo polinômios, a função é composta e, portanto, contínua nessas regiões. Logo,
é contínua em
.
Para todos os pontos
Passo 4
Analisando a Continuidade no Ponto
:
O ponto é especial porque a função é definida de forma diferente ali. Para garantir que
seja contínua nesse ponto, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a
, que é 0.
O ponto
Passo 5
Calculando o Limite em
:
Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo do limite. Seja e
, onde
é a distância ao ponto
e
é o ângulo.
Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo do limite. Seja
Substituindo na função:
À medida que
,
tende a 0, independente do valor de
.
Passo 6
Conclusão da Continuidade no Ponto
:
Como o limite de quando
é 0, que é igual ao valor de
, a função
é contínua nesse ponto.
Como o limite de
Resposta
O maior subconjunto de
onde a função
é contínua é todo o espaço
.
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Calcule
Nos problemas 21-26, resolva os problemas de valor inicial dados.
Represente graficamente o domínio da função dada por