Obtenha o maior subconjunto do R^2 ou R^3, no qual a função f(x, y) = { (x^4 * y^6) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) } é contínua

Passo 1

Resumo do Problema:
Temos uma função definida em e queremos descobrir o maior subconjunto desse espaço onde a função é contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites em várias variáveis.

Passo 2

Entendendo a Função:
A função dada é:
Vamos analisar onde essa função é contínua.

Passo 3

Continuidade em Pontos Diferentes de :
Para todos os pontos diferentes de , o denominador não é zero. Como estamos dividindo polinômios, a função é composta e, portanto, contínua nessas regiões. Logo, é contínua em .

Passo 4

Analisando a Continuidade no Ponto :
O ponto é especial porque a função é definida de forma diferente ali. Para garantir que seja contínua nesse ponto, o limite de quando se aproxima de deve ser igual a , que é 0.

Passo 5

Calculando o Limite em :
Vamos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo do limite. Seja e , onde é a distância ao ponto e é o ângulo.
Substituindo na função:
À medida que , tende a 0, independente do valor de .

Passo 6

Conclusão da Continuidade no Ponto :
Como o limite de quando é 0, que é igual ao valor de , a função é contínua nesse ponto.

Resposta

O maior subconjunto de onde a função é contínua é todo o espaço .

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