Nos problemas 21-26, resolva os problemas de valor inicial dados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial com condição inicial. Estamos lidando com uma Equação Diferencial de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos identificar:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Agora, integramos
em relação a
para encontrar
:
A integral de
em relação a
é
. Para
, usamos integração por partes:
Seja
e
, então
e
.
Aplicando integração por partes:
Então,
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Substituindo
e
na equação de
:
Simplificando:
Então,
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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ou
, no qual a função
é contínua