Nos problemas 21-26, resolva os problemas de valor inicial dados.
3 x = 0
(e^x + y) dx + (2 + x + y e^y) dy = 0, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial com condição inicial. Estamos lidando com uma Equação Diferencial de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma solução que satisfaça a condição inicial dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos identificar:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Agora, integramos em relação a para encontrar :
A integral de em relação a é . Para , usamos integração por partes:
Seja e , então e .
Aplicando integração por partes:
Então,

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Substituindo e na equação de :
Simplificando:
Então,

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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