Calcule
Passo 1
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo de limites para funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar limites em várias direções e verificar se o limite é o mesmo independente do caminho seguido para chegar ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de caminhos diferentes para ver se o resultado é o mesmo. Um caminho simples é deixar
.
Substituindo
na expressão, temos:
Então, ao longo de
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo,
.
Substituindo
na expressão, temos:
Assim, ao longo de
, o limite também é 0.
Passo 4
Vamos tentar um caminho mais geral, onde
, com
sendo uma constante qualquer.
Substituindo
na expressão:
Aqui, podemos ver que o limite depende do valor de
, o que significa que o limite pode variar dependendo do caminho escolhido para
. Por exemplo, se escolhermos
, o limite será
, diferente de 0.
Passo 5
Como o limite depende do caminho escolhido (tem valores diferentes para caminhos diferentes), concluímos que o limite não existe. Ou seja, não há um único valor que a função se aproxima quando
se aproxima de
.
Resposta
O limite
não existe.
Exercícios relacionados
Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante:
na ordem
.
Calcule
Dica: fatore o numerador e o denominador.
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.
Seja
a população de uma espécie dada no instante t. A hipótese mais simples sobre a variação da população é que a taxa de variação de y é proporcional ao valor atual de y, isto é,
onde a constante de proporcionalidade
é chamada taxa de crescimento. Esse modelo foi proposto pela primeira vez pelo economista Thomas Malthus em 1798. Uma adaptação desse modelo foi proposta pelo matemático P.F. Verhulst em 1838 através da equação
Essa equação é chamada de equação logística. Resolva a equação logística para
e
.