Calcule
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^4+3 y^2

Passo 1

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo de limites para funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar limites em várias direções e verificar se o limite é o mesmo independente do caminho seguido para chegar ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de caminhos diferentes para ver se o resultado é o mesmo. Um caminho simples é deixar x^2 cdot 0x^4 + 3 cdot 0^2 = 0x^4 = 0 .
Substituindo na expressão, temos:
Então, ao longo de , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar outro caminho, por exemplo, 0^2 cdot y0^4 + 3 y^2 = 03 y^2 = 0 .
Substituindo na expressão, temos:
Assim, ao longo de , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos tentar um caminho mais geral, onde x^2 cdot (k x^2)x^4 + 3 (k x^2)^2 = k x^4x^4 + 3 k^2 x^4 = k x^4x^4(1 + 3 k^2) = k1 + 3 k^2 , com sendo uma constante qualquer.
Substituindo na expressão:
Aqui, podemos ver que o limite depende do valor de , o que significa que o limite pode variar dependendo do caminho escolhido para . Por exemplo, se escolhermos , o limite será , diferente de 0.

Passo 5

Como o limite depende do caminho escolhido (tem valores diferentes para caminhos diferentes), concluímos que o limite não existe. Ou seja, não há um único valor que a função se aproxima quando se aproxima de .

Resposta

O limite não existe.

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