Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante:
na ordem
.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma integral tripla dada por
e precisamos reescrevê-la na ordem
. Isso está relacionado ao estudo de integrais múltiplas em cálculo, onde mudamos a ordem de integração para facilitar os cálculos. Para isso, vamos entender como os limites de integração se relacionam entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais de integração:
-
varia de 0 a 5. - Para cada
, varia de -1 a 0. - Para cada
e , varia de 0 a .
Agora, precisamos determinar os novos limites quando mudamos a ordem para
.
Passo 3
Vamos visualizar a região de integração no espaço
. Sabemos que:
-
está entre 0 e 5. -
está entre -1 e 0, independente de e . -
está entre 0 e .
Para mudar a ordem para
, precisamos expressar
em termos de
e
, ou seja, determinar para cada
e
os limites de
.
Observando que
varia de -1 a 0, e que esses limites não dependem de
nem de
, podemos manter esses limites para
.
Passo 4
Com isso, a nova ordem de integração fica:
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Agora, a integral reduzida é:
Integrando em relação a
:
Resposta
A integral reescrita na ordem
e calculada resulta em
.
Exercícios relacionados
Calcule
Dica: fatore o numerador e o denominador.
Calcule as seguintes integrais triplas:
Calcule
Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante:
na ordem
.