Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante: integral0^5 integral-1^0 integral0^x+4 d y d x d z na ordem d z d y d x.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma integral tripla dada por integral0^5 integral-1^0 integral0^x+4 dy, dx, dz e precisamos reescrevê-la na ordem dz, dy, dx. Isso está relacionado ao estudo de integrais múltiplas em cálculo, onde mudamos a ordem de integração para facilitar os cálculos. Para isso, vamos entender como os limites de integração se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites atuais de integração:
  • x varia de 0 a 5.
  • Para cada x, z varia de -1 a 0.
  • Para cada x e z, y varia de 0 a x + 4.
Agora, precisamos determinar os novos limites quando mudamos a ordem para dz, dy, dx.

Passo 3

Vamos visualizar a região de integração no espaço (x, y, z). Sabemos que:
  • x está entre 0 e 5.
  • z está entre -1 e 0, independente de x e y.
  • y está entre 0 e x + 4.
Para mudar a ordem para dz, dy, dx, precisamos expressar z em termos de y e x, ou seja, determinar para cada x e y os limites de z.
Observando que z varia de -1 a 0, e que esses limites não dependem de y nem de x, podemos manter esses limites para z.

Passo 4

Com isso, a nova ordem de integração fica:
integralx=0^5 integraly=0^x+4 integralz=-1^0 dz, dy, dx
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a z:
integralz=-1^0 dz = [z]-1^0 = 0 - (-1) = 1
Agora, a integral fica:
integral0^5 integral0^x+4 1, dy, dx
Integrando em relação a y:
integral0^x+4 1, dy = [y]0^x+4 = (x + 4) - 0 = x + 4
Agora, a integral reduzida é:
integral0^5 (x + 4), dx
Integrando em relação a x:
integral0^5 x, dx + integral0^5 4, dx = [x^22]0^5 + [4x]0^5 = 252 + 20 = 252 + 402 = 652

Resposta

A integral reescrita na ordem dz, dy, dx e calculada resulta em 652.

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lim (x, y) (3,7) 6-2 x-3 y+x y21-7 x-3 y+x y
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Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante: integral0^1 integral0^1-x^2 integral0^raiz1-x^2 d y d z d x na ordem d z d y d x.