Seja
a população de uma espécie dada no instante t. A hipótese mais simples sobre a variação da população é que a taxa de variação de y é proporcional ao valor atual de y, isto é,
onde a constante de proporcionalidade
é chamada taxa de crescimento. Esse modelo foi proposto pela primeira vez pelo economista Thomas Malthus em 1798. Uma adaptação desse modelo foi proposta pelo matemático P.F. Verhulst em 1838 através da equação
Essa equação é chamada de equação logística. Resolva a equação logística para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a população de uma espécie varia ao longo do tempo usando duas equações: a de Malthus e a logística de Verhulst. A ideia principal aqui é resolver a equação logística quando
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e integração por frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação logística com os valores dados:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
para conseguir integrar. Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Queremos expressar
como
:
Resolvendo para
e
:
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Então,
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Podemos combinar os logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma nova constante.
Passo 7
Resolvendo para
:
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por
:
Onde
é outra constante.
Resposta
A solução da equação logística para
e
é:
Onde
é uma constante que pode ser determinada com uma condição inicial, caso seja fornecida.
Exercícios relacionados
Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante:
na ordem
.
Calcule
Mostre que
não existe.
Calcule as seguintes integrais triplas: