Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante: integral0^1 integral0^1-x^2 integral0^raiz1-x^2 d y d z d x na ordem d z d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo integral múltiplo, especificamente uma integral tripla. A tarefa é reescrever a integral
integral0^1 integral0^1-x^2 integral0^raiz1-x^2 dy , dz , dx
mudando a ordem de integração para , e depois calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos entender a região de integração e ajustar os limites conforme a nova ordem.

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar a região tridimensional onde a integração está acontecendo. Originalmente, temos:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 a .
  • Para cada par , varia de 0 a .
Essa região está limitada por um cilindro circular e um paraboloide, mas vamos focar nos limites para reorganizá-los.

Passo 3

Agora, queremos reorganizar a ordem de integração para integral0^1 integral0^1 - x^2 integral0^raiz1 - x^2 dz , dy , dx . Isso significa que primeiro vamos integrar em relação a , depois em relação a , e por último em relação a . Para isso, precisamos determinar novos limites para cada variável nessa nova ordem:
  1. : continua de 0 a 1.
  2. : para cada , varia de 0 a .
  3. : para cada par , varia de 0 a .
Então, a integral reescrita fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral passo a passo:
  1. Integrar em relação a integral0^raiz1 - x^2 dz = [ z ]0^raiz1 - x^2 = raiz1 - x^2 :
    integral0^1 integral0^1 - x^2 raiz1 - x^2 , dy , dx
    Agora, a integral fica:
    integral0^1 - x^2 raiz1 - x^2 , dy = raiz1 - x^2 cdot y gr|0^1 - x^2 = raiz1 - x^2 cdot (1 - x^2)
  2. Integrar em relação a raiz1 - x^2 cdot (1 - x^2) = (1 - x^2)^3/2 :
    integral0^1 (1 - x^2)^3/2 , dx
    Simplificando:
    integral0^pi2 (1 - sin^2 theta)^3/2 cos theta , dtheta = integral0^pi2 (cos^2 theta)^3/2 cos theta , dtheta = integral0^pi2 cos^4 theta , dtheta
    Agora, a integral fica:
    integral cos^4 theta , dtheta = 3pi16
  3. Integrar em relação a 3pi16 :
    Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja , então . Quando , e quando , .
    Substituindo na integral:
    Sabemos que:
    Portanto, a integral avaliada de a é:

Resposta

O valor da integral é .

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