Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante: na ordem .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo integral múltiplo, especificamente uma integral tripla. A tarefa é reescrever a integral
mudando a ordem de integração para , e depois calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos entender a região de integração e ajustar os limites conforme a nova ordem.
Passo 2
Primeiro, precisamos visualizar a região tridimensional onde a integração está acontecendo. Originalmente, temos:
varia de 0 a 1.
Para cada valor de , varia de 0 a .
Para cada par , varia de 0 a .
Essa região está limitada por um cilindro circular e um paraboloide, mas vamos focar nos limites para reorganizá-los.
Passo 3
Agora, queremos reorganizar a ordem de integração para . Isso significa que primeiro vamos integrar em relação a , depois em relação a , e por último em relação a . Para isso, precisamos determinar novos limites para cada variável nessa nova ordem: