Reescreva as seguintes integrais usando a ordem de integração indicada e calcule a integral resultante: integral0^1 integral0^1-x^2 integral0^raiz1-x^2 d y d z d x na ordem d z d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo integral múltiplo, especificamente uma integral tripla. A tarefa é reescrever a integral
integral0^1 integral0^1-x^2 integral0^raiz1-x^2 dy , dz , dx
mudando a ordem de integração para , e depois calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos entender a região de integração e ajustar os limites conforme a nova ordem.

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar a região tridimensional onde a integração está acontecendo. Originalmente, temos:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de , varia de 0 a .
  • Para cada par , varia de 0 a .
Essa região está limitada por um cilindro circular e um paraboloide, mas vamos focar nos limites para reorganizá-los.

Passo 3

Agora, queremos reorganizar a ordem de integração para integral0^1 integral0^1 - x^2 integral0^raiz1 - x^2 dz , dy , dx . Isso significa que primeiro vamos integrar em relação a , depois em relação a , e por último em relação a . Para isso, precisamos determinar novos limites para cada variável nessa nova ordem:
  1. : continua de 0 a 1.
  2. : para cada , varia de 0 a .
  3. : para cada par , varia de 0 a .
Então, a integral reescrita fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral passo a passo:
  1. Integrar em relação a integral0^raiz1 - x^2 dz = [ z ]0^raiz1 - x^2 = raiz1 - x^2 :
    integral0^1 integral0^1 - x^2 raiz1 - x^2 , dy , dx
    Agora, a integral fica:
    integral0^1 - x^2 raiz1 - x^2 , dy = raiz1 - x^2 cdot y gr|0^1 - x^2 = raiz1 - x^2 cdot (1 - x^2)
  2. Integrar em relação a raiz1 - x^2 cdot (1 - x^2) = (1 - x^2)^3/2 :
    integral0^1 (1 - x^2)^3/2 , dx
    Simplificando:
    integral0^pi2 (1 - sin^2 theta)^3/2 cos theta , dtheta = integral0^pi2 (cos^2 theta)^3/2 cos theta , dtheta = integral0^pi2 cos^4 theta , dtheta
    Agora, a integral fica:
    integral cos^4 theta , dtheta = 3pi16
  3. Integrar em relação a 3pi16 :
    Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja , então . Quando , e quando , .
    Substituindo na integral:
    Sabemos que:
    Portanto, a integral avaliada de a é:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule
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d y/d t = r y
onde a constante de proporcionalidade r > 0 é chamada taxa de crescimento. Esse modelo foi proposto pela primeira vez pelo economista Thomas Malthus em 1798. Uma adaptação desse modelo foi proposta pelo matemático P.F. Verhulst em 1838 através da equação
d y / d t = r (1 - y / K) y
Essa equação é chamada de equação logística. Resolva a equação logística para K = 1 e r = 0.5.
Mostre que
lim (x, y) (0,0) xx^2+y^2
não existe.