Calcule lim (x, y, z) (0,0,0) x^4+z^3x^2+y^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de três variáveis (x, y, z) quando elas se aproximam de (0,0,0). A função é:
lim (x, y, z) (0,0,0) x^4+z^3x^2+y^2+z^2
Aqui, estamos lidando com limites multivariáveis em Cálculo. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando (x, y, z) se aproxima de (0,0,0) de diferentes maneiras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função está fazendo. No numerador temos x^4 + z^3 e no denominador x^2 + y^2 + z^2. Quando (x, y, z) se aproxima de (0,0,0), tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Isso é uma forma indeterminada 0/0, então precisamos investigar mais a fundo.

Passo 3

Uma estratégia comum para limites multivariáveis é tentar encontrar um limite que seja o mesmo independente do caminho que escolhemos para aproximar (0,0,0). Vamos testar alguns caminhos diferentes.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos deixar y = 0 e z = 0. Assim, a função fica:
x^4+0x^2+0+0 = x^4x^2 = x^2
Quando x 0, x^2 0.

Passo 5

Segundo caminho: Agora, vamos deixar x = 0 e y = 0. A função se torna:
0 + z^30 + 0 + z^2 = z^3z^2 = z
Quando z 0, z 0.

Passo 6

Terceiro caminho: Vamos deixar x = y = z. Assim, a função fica:
x^4+x^3x^2+x^2+x^2 = x^4 + x^33x^2 = x^2 + x3
Quando x 0, x^2 + x3 0.

Passo 7

Até agora, em todos os caminhos que testamos, o limite sempre tende a 0. Isso sugere que o limite geral seja 0. Para confirmar, vamos usar uma estimativa geral.

Passo 8

Observe que x^4 <= x^2 para valores pequenos de x, e |z^3| <= |z|^2 para |z| <= 1. Então, temos:
|x^4 + z^3| <= |x^4| + |z^3| <= x^2 + z^2
Portanto,
| x^4+z^3x^2+y^2+z^2 | <= x^2 + z^2x^2 + y^2 + z^2 <= 1
Como ambos o numerador e o denominador tendem a zero, e a fração está limitada, podemos concluir que o limite é 0.

Resposta

O limite é 0.

Exercícios relacionados

Hallar las derivadas parciales segundas de:
f(x, y) = e^(-x) * cos(x) * sen(y)
En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales:
f(x, y) = log(x^2 + y^2)
Sea f(x, y)=(cclx^3+x y^2+x^2+yx^2+y^2 & si & (x, y) neq(0,0) 1 & si & (x, y)=(0,0). Hallar fx(0,0) y fy(0,0)
En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales:
f(x, y) = x^4 + y^4 - 4 x^2 y^2