Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função de três variáveis quando elas se aproximam de . A função é:
Aqui, estamos lidando com limites multivariáveis em Cálculo. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando se aproxima de de diferentes maneiras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função está fazendo. No numerador temos e no denominador . Quando se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Isso é uma forma indeterminada , então precisamos investigar mais a fundo.
Passo 3
Uma estratégia comum para limites multivariáveis é tentar encontrar um limite que seja o mesmo independente do caminho que escolhemos para aproximar . Vamos testar alguns caminhos diferentes.
Passo 4
Primeiro caminho: Vamos deixar e . Assim, a função fica:
Quando , .
Passo 5
Segundo caminho: Agora, vamos deixar e . A função se torna:
Quando , .
Passo 6
Terceiro caminho: Vamos deixar . Assim, a função fica:
Quando , .
Passo 7
Até agora, em todos os caminhos que testamos, o limite sempre tende a . Isso sugere que o limite geral seja . Para confirmar, vamos usar uma estimativa geral.
Passo 8
Observe que para valores pequenos de , e para . Então, temos:
Portanto,
Como ambos o numerador e o denominador tendem a zero, e a fração está limitada, podemos concluir que o limite é 0.