Hallar las derivadas parciales segundas de:
f(x, y) = e^(-x) * cos(x) * sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas em relação a e e depois aplicar isso novamente para achar as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a , que a gente denota por . Para fazer isso, tratamos como uma constante.
A função é . Então, derivando em relação a :
Como é uma constante em relação a , fica:
Agora, usamos a regra do produto para derivar :
Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a novamente para achar a segunda derivada parcial .
Novamente, aplicamos a regra do produto:
Derivando :
Somando as duas derivadas:
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial em relação a , denotada por .
Primeiro, achamos a primeira derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos em relação a :

Passo 5

Por fim, vamos calcular as derivadas mistas e . Na teoria, sabemos que para funções suficientemente suaves, .
Primeiro, derivamos em relação a :
Então, as derivadas parciais de segunda ordem são:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

Exercícios relacionados

En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales:
f(x, y) = log(x^2 + y^2)
En el plano oxy, sea C el circulo de centro en el origen y radio 5. Sea la función definida en todo el plano f tal que f(x, y) = { x^2 + y^2, se (x, y) ∈ C; x^2 + y + 12, se (x, y) não ∈ C }. Tratandose de polinomios la función es contínua en el interior de C y en el exterior de C. Se desea analizar la frontera F de C.
Mostrar que hay puntos de F en que la función es continua y hallarlos.
Calcule lim (x, y, z) (0,0,0) x^4+z^3x^2+y^2+z^2
Sea f(x, y)=(cclx^3+x y^2+x^2+yx^2+y^2 & si & (x, y) neq(0,0) 1 & si & (x, y)=(0,0). Hallar fx(0,0) y fy(0,0)