Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de . Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções seno e linear perto do ponto de interesse e, possivelmente, usar a regra de L’Hôpital se encontrarmos uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por na expressão para ver que tipo de forma temos:

Passo 3

Agora, precisamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de . Se substituirmos diretamente, obtemos:
Se , então:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

A regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite na forma , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite das derivadas.
Primeiro, derivamos o numerador :
Em seguida, derivamos o denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no lugar do limite original:

Passo 6

Por fim, substituímos por na expressão resultante:

Resposta

Exercícios relacionados

Resolução

  1. Caso a parte real e a parte imaginária de , dada em (2.1), sejam diferenciáveis, podemos definir a diferencial total
Em particular, e acarretam
Assim, ao substituirmos (2.27) em (2.25), temos
Portanto, podemos utilizar as notações
para representarmos (2.28) por
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
(a) ;
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(a) A parábola de equação .
Mostre que as equações diferenciais abaixo são homogêneas e, em seguida, resolva-as.
(b)