Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções seno e linear perto do ponto de interesse e, possivelmente, usar a regra de L’Hôpital se encontrarmos uma forma indeterminada.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na expressão para ver que tipo de forma temos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de
. Se substituirmos diretamente, obtemos:
Se
, então:
Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
A regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite na forma
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite das derivadas.
Primeiro, derivamos o numerador
:
Em seguida, derivamos o denominador
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no lugar do limite original:
Passo 6
Por fim, substituímos
por
na expressão resultante:
Resposta
Exercícios relacionados
Resolução
- Caso a parte real
e a parte imaginária de , dada em (2.1), sejam diferenciáveis, podemos definir a diferencial total
Em particular,
e
acarretam
Assim, ao substituirmos (2.27) em (2.25), temos
Portanto, podemos utilizar as notações
para representarmos (2.28) por
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
(a) ;
(a)
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(a) A parábola de equação .
(a) A parábola de equação
Mostre que as equações diferenciais abaixo são homogêneas e, em seguida, resolva-as.
(b)
(b)