Calcule.
lim x z2 1-sen x2 x-pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de . Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções seno e linear perto do ponto de interesse e, possivelmente, usar a regra de L’Hôpital se encontrarmos uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 1 - sin(z2)2(z2) - pi = 1 - sin(z2)z - pi por na expressão para ver que tipo de forma temos:

Passo 3

Agora, precisamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando 1 - sin(z2) e z - pi se aproxima de 1 - sin(pi2) = 1 - 1 = 0 . Se substituirmos diretamente, obtemos:
pi - pi = 0
Se , então:
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

A regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite na forma ddx(1 - sin x) = -cos x , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite das derivadas.
Primeiro, derivamos o numerador ddx(2x - pi) = 2 :
Em seguida, derivamos o denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no lugar do limite original:
limx z2 1 - sin x2x - pi = limx z2 -cos x2

Passo 6

Por fim, substituímos -cos(z2)2 por na expressão resultante:

Resposta

limx z2 1 - sin x2x - pi = -cos ( z2 ) 2

Exercícios relacionados