Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(a) A parábola de equação .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para escrever equações paramétricas para a parábola e indicar a orientação dela. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente no estudo de curvas e suas representações. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações paramétricas e como aplicá-las em uma parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são equações paramétricas. Em vez de expressar uma relação diretamente entre e , usamos um terceiro parâmetro, geralmente , para definir e separadamente. Isso nos dá mais flexibilidade para descrever a curva.

Passo 3

Escolhendo o parâmetro , podemos expressar e em termos de . Um jeito simples é deixar . Assim, substituindo por na equação original da parábola:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos pensar na orientação. A orientação descreve a direção em que percorremos a curva conforme o parâmetro aumenta. Como está aumentando de a , podemos analisar o comportamento da parábola.
Quando aumenta, aumenta, e também aumenta porque é uma função crescente para valores positivos de . Portanto, a orientação segue da esquerda para a direita.

Resposta

As equações paramétricas para a parábola são:
A orientação da curva é da esquerda para a direita conforme aumenta.

Exercícios relacionados

Calcule.
Mostre que as equações diferenciais abaixo são homogêneas e, em seguida, resolva-as.
(b)
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(b) A parábola de equação fixados, .