Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(a) A parábola de equação
.
(a) A parábola de equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para escrever equações paramétricas para a parábola
e indicar a orientação dela. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, especificamente no estudo de curvas e suas representações. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são equações paramétricas e como aplicá-las em uma parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são equações paramétricas. Em vez de expressar uma relação diretamente entre
e
, usamos um terceiro parâmetro, geralmente
, para definir
e
separadamente. Isso nos dá mais flexibilidade para descrever a curva.
Passo 3
Escolhendo o parâmetro
, podemos expressar
e
em termos de
. Um jeito simples é deixar
. Assim, substituindo
por
na equação original da parábola:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos pensar na orientação. A orientação descreve a direção em que percorremos a curva conforme o parâmetro
aumenta. Como
está aumentando de
a
, podemos analisar o comportamento da parábola.
Quando
aumenta,
aumenta, e
também aumenta porque
é uma função crescente para valores positivos de
. Portanto, a orientação segue da esquerda para a direita.
Resposta
As equações paramétricas para a parábola
são:
A orientação da curva é da esquerda para a direita conforme
aumenta.
Exercícios relacionados
Calcule.
Mostre que as equações diferenciais abaixo são homogêneas e, em seguida, resolva-as.
(b)
(b)
Escreva equações paramétricas para as curvas abaixo, indicando a orientação.
(b) A parábola de equação fixados,
.
(b) A parábola de equação