Calcule
lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h
em cada caso a seguir:
f(x)=a x^2+b x+c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que na verdade é a definição da derivada. O enunciado pede para calcular:
lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h
Aqui, a função que estamos trabalhando é:
f(x) = a x^2 + b x + c
Vamos precisar aplicar a regra da derivada e entender como ela funciona para polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(x0 + h) e f(x0) na fração:
f(x0+h)-f(x0)h = [a (x0 + h)^2 + b (x0 + h) + c] - [a x0^2 + b x0 + c]h

Passo 3

Agora, vamos expandir os termos dentro dos colchetes:
a (x0 + h)^2 = a (x0^2 + 2x0 h + h^2) = a x0^2 + 2a x0 h + a h^2
b (x0 + h) = b x0 + b h
Então, substituindo de volta:
[a x0^2 + 2a x0 h + a h^2 + b x0 + b h + c] - [a x0^2 + b x0 + c]h

Passo 4

Vamos simplificar a expressão subtraindo os termos:
a x0^2 + 2a x0 h + a h^2 + b x0 + b h + c - a x0^2 - b x0 - c = 2a x0 h + a h^2 + b h
Então, temos:
2a x0 h + a h^2 + b hh

Passo 5

Agora, podemos fatorar h no numerador:
h (2a x0 + a h + b)h
Os h se cancelam:
2a x0 + a h + b

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o limite quando h tende a 0:
lim h 0 (2a x0 + a h + b) = 2a x0 + b

Resposta

O limite é igual a 2a x0 + b.

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