Calcule o limite abaixo, caso exista:
Passo 1
Vamos resolver o limite
Esse exercício está relacionado com cálculo de limites e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e entender o comportamento da função seno quando o argumento tende a infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que expressa a diferença de senos:
Aplicando essa identidade com
e
, temos:
Passo 3
Substituindo essa expressão no limite, ficamos com:
Sabemos que para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por:
Aplicando isso com
, temos:
Então, o limite fica aproximadamente:
Passo 4
Observamos que
está sempre limitado entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando por
, que tende a 0, temos:
Como
e
, pelo Teorema do Aperto (ou Squeeze Theorem), concluímos que:
Resposta
O limite é igual a 0.