Calcule o limite abaixo, caso exista:

Passo 1

Vamos resolver o limite
Esse exercício está relacionado com cálculo de limites e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e entender o comportamento da função seno quando o argumento tende a infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que expressa a diferença de senos:
Aplicando essa identidade com e , temos:

Passo 3

Substituindo essa expressão no limite, ficamos com:
Sabemos que para valores pequenos de , a função seno pode ser aproximada por:
Aplicando isso com , temos:
Então, o limite fica aproximadamente:

Passo 4

Observamos que está sempre limitado entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando por , que tende a 0, temos:
Como e , pelo Teorema do Aperto (ou Squeeze Theorem), concluímos que:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Determine a área limitada:
pelo eixo e a curva de equações paramétricas
Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da curva , no ponto de abscissa , sendo , definida parametricamente pelas equações
Elimite o parâmetro para encontrar um equação cartesiana da curva. Esboce a curva indicando com uma seta a direção na qual a curva é tracada quando aumenta.
(d)
Seja a região do plano acima da reta e abaixo do arco da ciclóide de equações
Esboce e calcule a sua área.