Calcule o limite abaixo, caso exista:
lim x 0 sen(x^2+1x)-sen(1x)x

Passo 1

Vamos resolver o limite
Esse exercício está relacionado com cálculo de limites e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e entender o comportamento da função seno quando o argumento tende a infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica que expressa a diferença de senos:
Aplicando essa identidade com sen(A) - sen(B) = 2 cos(A + B2) sen(A - B2) e sen(x^2+1x) - sen(1x) = 2 cos(x^2 + 2x2) sen(x^22) , temos:

Passo 3

Substituindo essa expressão no limite, ficamos com:
Sabemos que para valores pequenos de lim x 0 2 cos(1x + x^22) sen(x^22)x , a função seno pode ser aproximada por:
Aplicando isso com sen(y) approx y quando y 0 , temos:
Então, o limite fica aproximadamente:
sen(x^22) approx x^22

Passo 4

Observamos que -1 <= cos(1x + x^22) <= 1 está sempre limitado entre -1 e 1, ou seja:
- |x| <= cos(1x + x^22) cdot x <= |x|
Multiplicando por lim x 0 cos(1x + x^22) cdot x = 0 , que tende a 0, temos:
Como e , pelo Teorema do Aperto (ou Squeeze Theorem), concluímos que:

Resposta

O limite é igual a 0.

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