Elimite o parâmetro t para encontrar um equação cartesiana da curva. Esboce a curva indicando com uma seta a direção na qual a curva é tracada quando t aumenta.
(d) x = e^(2 t), y = t + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa eliminar o parâmetro para achar uma equação que relaciona e diretamente, sem depender de . Esse tipo de problema está na matéria de Equações Paramétricas. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e as propriedades das funções exponenciais e lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar as duas equações que relacionam e com :
Nosso objetivo é expressar em termos de e depois substituir esse valor na equação de .

Passo 3

Vamos resolver a segunda equação para :
Agora que temos em função de , podemos substituir esse valor na equação de .

Passo 4

Substituindo na equação de :
Podemos simplificar isso usando propriedades dos expoentes:
Mas para facilitar, vamos deixar a equação como .

Passo 5

Então, a equação cartesiana da curva, sem o parâmetro , fica:

Passo 6

Agora, para esboçar a curva e indicar a direção em que ela é traçada conforme aumenta, vamos analisar como e mudam com :
  • Conforme aumenta, também aumenta.
  • Com aumentando, aumenta exponencialmente.
Então, a curva vai para a direita e para cima à medida que aumenta.

Resposta

A equação cartesiana da curva é . Ao esboçar a curva, ela sobe e se move para a direita conforme aumenta, indicando a direção em que a curva é traçada quando aumenta.

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