Elimite o parâmetro
para encontrar um equação cartesiana da curva. Esboce a curva indicando com uma seta a direção na qual a curva é tracada quando
aumenta.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa eliminar o parâmetro
para achar uma equação que relaciona
e
diretamente, sem depender de
. Esse tipo de problema está na matéria de Equações Paramétricas. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e as propriedades das funções exponenciais e lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar as duas equações que relacionam
e
com
:
Nosso objetivo é expressar
em termos de
e depois substituir esse valor na equação de
.
Passo 3
Vamos resolver a segunda equação para
:
Agora que temos
em função de
, podemos substituir esse valor na equação de
.
Passo 4
Substituindo
na equação de
:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos expoentes:
Mas para facilitar, vamos deixar a equação como
.
Passo 5
Então, a equação cartesiana da curva, sem o parâmetro
, fica:
Passo 6
Agora, para esboçar a curva e indicar a direção em que ela é traçada conforme
aumenta, vamos analisar como
e
mudam com
:
- Conforme
aumenta, também aumenta. - Com
aumentando, aumenta exponencialmente.
Então, a curva vai para a direita e para cima à medida que
aumenta.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
. Ao esboçar a curva, ela sobe e se move para a direita conforme
aumenta, indicando a direção em que a curva é traçada quando
aumenta.