Calcule o limite abaixo.
lim x a x^3-a x^2+x^2-a x+2 x-2 ax-a

Passo 1

Vamos resolver o limite
lim x a x^3-a x^2+x^2-a x+2 x-2 ax-a
Aqui, estamos trabalhando com limites, um tópico de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e possivelmente fatorar o numerador para cancelar o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador. Vamos combinar os termos semelhantes:
x^3 - a x^2 + x^2 - a x + 2x - 2a = x^3 + ( -a x^2 + x^2) + (-a x + 2x) - 2a
Simplificando:
x^3 + x^2(1 - a) + x(2 - a) - 2a

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo do limite, precisamos fatorar o numerador. Observando o denominador (x - a), suspeitamos que (x - a) é um fator do numerador.
Vamos dividir o numerador por (x - a) usando a divisão polinomial ou fatoração.

Passo 4

Fatorando o numerador:
x^3 - a x^2 + x^2 - a x + 2 x - 2 a = (x - a)(x^2 + 2x + 2)
Assim, temos:
(x - a)(x^2 + 2x + 2)x - a

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo (x - a) no numerador e no denominador:
(x - a)(x^2 + 2x + 2)x - a = x^2 + 2x + 2

Passo 6

Com a expressão simplificada, calculamos o limite substituindo x por a:
lim x a (x^2 + 2x + 2) = a^2 + 2a + 2

Resposta

O limite é a^2 + 2a + 2.

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