Esboce o gráfico das funções abaixo.
, dada por

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa esboçar o gráfico da função que está definida por partes. Isso significa que a função tem três regras diferentes para três intervalos de . Vamos usar conhecimentos de funções lineares e quadráticas para fazer esse esboço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os intervalos e as expressões da função:
  1. Para , a função é .
  2. Para , a função é .
  3. Para , a função é .
Vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 3

Intervalo 1:
A função aqui é . Essa é uma função linear com coeficiente angular e coeficiente linear . O gráfico é uma reta decrescente.
Pontos-chave:
  • Quando , .
Então, nesse intervalo, a reta passa por e desce à medida que diminui.

Passo 4

Intervalo 2:
Aqui, temos . Essa é uma função quadrática com concavidade para baixo (porque o coeficiente de é negativo).
Pontos-chave:
  • Vértice da parábola em : .
  • Pontos nas extremidades:
    • : .
    • : .
Então, a parábola alcança seu ponto mais alto em e passa por e .

Passo 5

Intervalo 3:
A função é , outra função linear, agora com coeficiente angular e coeficiente linear . O gráfico é uma reta crescente.
Pontos-chave:
  • Quando , .
Nesse intervalo, a reta começa em e sobe à medida que aumenta.

Passo 6

Conectando os intervalos:
  • No ponto :
    • Do primeiro intervalo: .
    • Do segundo intervalo: .
    Aqui, a função tem uma descontinuidade. A reta chega em , mas a parábola começa em .
  • No ponto :
    • Do segundo intervalo: .
    • Do terceiro intervalo: .
    Outra descontinuidade. A parábola termina em , e a reta começa em .

Resposta

Pronto! O gráfico da função é composto por:
  1. Uma reta decrescente que vem de até .
  2. Uma parábola concava para baixo que vai de até .
  3. Uma reta crescente que começa em e segue para .
Lembre-se das descontinuidades em e , onde as peças não se conectam diretamente.

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