Dado um campo vetorial contínuo
uma curva diferenciável
tais que
é chamada de uma curva integral do campo . Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo .
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as curvas integrais do campo vetorial . Isso significa que queremos descobrir quais curvas satisfazem a equação no intervalo dado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos vetoriais e equações diferenciais, basicamente entendendo como o campo direciona o movimento ao longo das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais explícita. Isso se traduz em:
Então, temos as equações diferenciais:

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos derivar uma das equações em relação a . Vamos derivar a primeira equação:
Agora, temos a equação diferencial de segunda ordem:
Essa é uma equação harmônica simples cuja solução geral é:
Onde e são constantes.

Passo 4

Usando a equação , substituímos :
Integrando ambos os lados em relação a :
Mas, para simplificar e considerando constantes ajustadas, podemos escrever:

Resposta

A família de curvas integrais do campo vetorial são círculos centrados na origem, descritos pela equação . Geometricamente, essas curvas são círculos que giram em torno do ponto (0,0). Aqui está um esboço simplificado:
í
Onde cada círculo representa uma solução diferente da família de curvas integrais.

Exercícios relacionados

Determinar a evolvente de um círculo de raio .
Sobre a equação ; é afirmar que:
a Eौa é exata e é uma solução.
b nenhuma das demais alternativas
c] Ela não é exata, mas é uma solução.
Ela não é exata, mas é uma solução.
e. Eláé exata e é uma solução
Calcule o limite abaixo.