é chamada de uma curva integral do campo . Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo .
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as curvas integrais do campo vetorial . Isso significa que queremos descobrir quais curvas satisfazem a equação no intervalo dado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos vetoriais e equações diferenciais, basicamente entendendo como o campo direciona o movimento ao longo das curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de forma mais explícita. Isso se traduz em:
Então, temos as equações diferenciais:
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos derivar uma das equações em relação a . Vamos derivar a primeira equação:
Agora, temos a equação diferencial de segunda ordem:
Essa é uma equação harmônica simples cuja solução geral é:
Onde e são constantes.
Passo 4
Usando a equação , substituímos :
Integrando ambos os lados em relação a :
Mas, para simplificar e considerando constantes ajustadas, podemos escrever:
Resposta
A família de curvas integrais do campo vetorial são círculos centrados na origem, descritos pela equação . Geometricamente, essas curvas são círculos que giram em torno do ponto (0,0). Aqui está um esboço simplificado:
í
Onde cada círculo representa uma solução diferente da família de curvas integrais.