Uma função
f: U subset R^n -> R
é dita radial se existir uma função
g: R+ -> R
tal que
f(X) = g(r), para todo X = (x1, ..., xn) em R^n, onde r = ||X||_E
© Resolver a equação difrencial das funções harmônicas,
triangle f = 0
para as funções radiais em cada caso seguinte:
i. No R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções radiais e como resolver a equação diferencial das funções harmônicas, que é a equação de Laplace, no espaço bidimensional, ou seja, no R^2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções radiais, como a equação de Laplace se comporta em coordenadas polares e, finalmente, encontrar a solução para essa equação no caso específico do R^2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função radial. Uma função radial é aquela que depende apenas da distância de um ponto ao origem, e não da direção. Matemáticamente, isso significa que podemos escrever a função f(X) como , onde r é a norma euclidiana de X, ou seja, no R^2.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação de Laplace, que é dada por:
No R^2, é mais fácil resolver essa equação usando coordenadas polares, já que estamos lidando com funções radiais. Em coordenadas polares (r, θ), a equação de Laplace para uma função que depende apenas de r (ou seja, uma função radial) simplifica para:

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial passo a passo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por r para simplificar:
Isso significa que a derivada de em relação a r é zero, o que implica que:
onde C é uma constante de integração.
Agora, isolamos :
Integrando ambos os lados em relação a r, obtemos:
onde D é outra constante de integração.

Passo 5

Portanto, a solução geral para a equação de Laplace no caso de funções radiais no R^2 é:
onde C e D são constantes que podem ser determinadas com base em condições adicionais do problema.

Resposta

A solução geral da equação diferencial das funções harmônicas para funções radiais no R^2 é:
onde C e D são constantes.

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