Uma função
é dita radial se existir uma função
tal que
© Resolver a equação difrencial das funções harmônicas,
para as funções radiais em cada caso seguinte:
i. No
.
i. No
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre funções radiais e como resolver a equação diferencial das funções harmônicas, que é a equação de Laplace, no espaço bidimensional, ou seja, no
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções radiais, como a equação de Laplace se comporta em coordenadas polares e, finalmente, encontrar a solução para essa equação no caso específico do
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função radial. Uma função radial é aquela que depende apenas da distância de um ponto ao origem, e não da direção. Matemáticamente, isso significa que podemos escrever a função
como
, onde
é a norma euclidiana de
, ou seja,
no
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação de Laplace, que é dada por:
No
, é mais fácil resolver essa equação usando coordenadas polares, já que estamos lidando com funções radiais. Em coordenadas polares
, a equação de Laplace para uma função que depende apenas de
(ou seja, uma função radial) simplifica para:
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial passo a passo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para simplificar:
Isso significa que a derivada de
em relação a
é zero, o que implica que:
onde
é uma constante de integração.
Agora, isolamos
:
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos:
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Portanto, a solução geral para a equação de Laplace no caso de funções radiais no
é:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas com base em condições adicionais do problema.
Resposta
A solução geral da equação diferencial das funções harmônicas para funções radiais no
é:
onde
e
são constantes.