Calcule o limite abaixo:
lim x infty(x+3x)^5 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver um limite que envolve potências e crescimento infinito. O exercício é calcular:
lim x infty(x+3x)^5 x
Para isso, vamos usar conhecimentos de limites envolvendo exponenciais e a constante .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Dividindo cada termo por x+3x = 1 + 3x :
lim x infty(1 + 3x)^5 x
Então, nosso limite fica:

Passo 3

Agora, lembramos de uma fórmula importante de limites:
limx to infty (1 + kx)^x = e^k
Aqui, . Mas no nosso caso, temos no expoente em vez de apenas .

Passo 4

Para ajustar isso, podemos reescrever a expressão da seguinte maneira:
(1 + 3x)^5x = [(1 + 3x)^x]^5
Agora, aplicando a fórmula do limite:
lim x infty(1 + 3x)^x = e^3
Portanto:
(e^3)^5 = e^15

Resposta

O limite é .

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