Dadas as funções f(x)=rllx^2+3, & se & x <= 1, x+1, & se & x>1 e f(x)=rllx^2, & se & x <= 1, 2, & se & x>1
(a) Mostre que lim x 1^+ f(x) e lim x 1^- f(x), ambos existem mas não são iguais. Portanto, lim x 1 f(x) não existe.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = x^2 + 3, & se x <= 1, x + 1, & se x > 1
O conteúdo aqui é sobre limites laterais. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ) e pela esquerda ( ), mostrar que ambos existem, mas não são iguais. Assim, o limite geral não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite à esquerda de limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (x^2 + 3) = (1)^2 + 3 = 4 quando se aproxima de 1. Isso significa que estamos olhando para valores de que são menores que 1, mas bem próximos disso.
Para , a função é . Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite à direita de limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (x + 1) = 1 + 1 = 2 quando se aproxima de 1. Aqui, olhamos para valores de que são maiores que 1, mas bem próximos disso.
Para , a função é . Então,

Passo 4

Agora que temos os dois limites laterais:
limx to 1^- f(x) = 4 e limx to 1^+ f(x) = 2
Perceba que os dois limites existem, mas são diferentes. Isso significa que a função tem um limite lateral quando nos aproximamos de 1 pela esquerda e outro quando nos aproximamos pela direita, mas eles não coincidem.

Resposta

Como os limites laterais são diferentes ( ), concluímos que não existe.

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