Sejam
e
definidas pelas relações:
Quais das funções abaixo são contínuas:
c)
Quais das funções abaixo são contínuas:
c)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções definidas por partes,
e
, e queremos descobrir se o produto dessas funções,
, é contínuo. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e analisar o comportamento dessas funções nos diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não houver “quebras” ou “saltos” no gráfico dela nesse ponto. Isso significa que o limite da função quando x se aproxima daquele ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita e também é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos definir o produto
nas duas partes onde as funções são definidas:
-
Para
: Então: -
Para
: Então:
Passo 4
Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto onde as definições mudam, ou seja, em
.
-
Valor da função em
: -
Limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ): -
Limite quando
se aproxima de 1 pela direita ( ):
Passo 5
Para a função ser contínua em
, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. No nosso caso:
Aqui, vemos que o limite pela esquerda (6) é diferente do limite pela direita (0), mesmo que ambos coincidam com o valor da função à direita.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Determine o limite:
(b)
(b)
Calcule o limite abaixo:
Dadas as funções
e
(b) Idem para a função .
(b) Idem para a função
Sejam
e
definidas pelas relações:
Quais das funções abaixo são contínuas:
a)
Quais das funções abaixo são contínuas:
a)