Sejam e definidas pelas relações:

Quais das funções abaixo são contínuas:
c)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções definidas por partes, e , e queremos descobrir se o produto dessas funções, , é contínuo. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e analisar o comportamento dessas funções nos diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não houver “quebras” ou “saltos” no gráfico dela nesse ponto. Isso significa que o limite da função quando x se aproxima daquele ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita e também é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos definir o produto nas duas partes onde as funções são definidas:
  • Para :
    Então:
  • Para :
    Então:

Passo 4

Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto onde as definições mudam, ou seja, em .
  • Valor da função em :
  • Limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
  • Limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 5

Para a função ser contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. No nosso caso:
Aqui, vemos que o limite pela esquerda (6) é diferente do limite pela direita (0), mesmo que ambos coincidam com o valor da função à direita.

Resposta

A função não é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Determine o limite:
(b)
Calcule o limite abaixo:
Dadas as funções e
(b) Idem para a função .
Sejam e definidas pelas relações:

Quais das funções abaixo são contínuas:
a)