Sejam f e g definidas pelas relações:
f(x)=rll3 x, & se & x<1, 2, & se & x >= 1 e g(x)=rll2, & se & x<1, 1-x, & se & x >= 1
Quais das funções abaixo são contínuas:
c) f cdot g

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções definidas por partes, e , e queremos descobrir se o produto dessas funções, , é contínuo. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e analisar o comportamento dessas funções nos diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não houver “quebras” ou “saltos” no gráfico dela nesse ponto. Isso significa que o limite da função quando x se aproxima daquele ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita e também é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos definir o produto f(x) = 3x e g(x) = 2 nas duas partes onde as funções são definidas:
  • Para f(x) cdot g(x) = 3x cdot 2 = 6x :
    f(x) = 2 e g(x) = 1 - x
    Então:
    f(x) cdot g(x) = 2 cdot (1 - x) = 2 - 2x
  • Para :
    Então:

Passo 4

Agora, precisamos verificar a continuidade no ponto onde as definições mudam, ou seja, em f(1) = 2 e g(1) = 1 - 1 = 0 f(1) cdot g(1) = 2 cdot 0 = 0 .
  • Valor da função em limx to 1^- f(x) cdot g(x) = limx to 1^- 6x = 6 cdot 1 = 6 :
    limx to 1^+ f(x) cdot g(x) = limx to 1^+ (2 - 2x) = 2 - 2 cdot 1 = 0
  • Limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
  • Limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):

Passo 5

Para a função ser contínua em limx to 1^- f(x) cdot g(x) = 6 limx to 1^+ f(x) cdot g(x) = 0 f(1) cdot g(1) = 0 , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. No nosso caso:
Aqui, vemos que o limite pela esquerda (6) é diferente do limite pela direita (0), mesmo que ambos coincidam com o valor da função à direita.

Resposta

A função não é contínua no ponto .

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