Calcule o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
n) lim x 2 x^2-4x^2-3 x+2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como fatorar expressões polinomiais e aplicar a regra de substituição ou simplificação de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para ver se conseguimos simplificar a expressão.
O numerador é x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) , que é uma diferença de quadrados. Sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) . Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então:

Passo 4

Substituímos agora as fatorações na expressão original:
x^2-4x^2-3x+2 = (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x - 2)

Passo 5

Observamos que o termo (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x - 2) = x + 2x - 1 aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que ):

Passo 6

Agora, reescrevemos o limite com a expressão simplificada:
limx 2 x + 2x - 1

Passo 7

Aplicamos a regra de substituição, que diz que se a função é contínua no ponto, podemos substituir diretamente o valor de 2 + 22 - 1 = 41 = 4 :

Resposta

O limite é igual a 4.

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