Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir, se não existir, indique a razão disto.
c)
(i) lim x 2^+ f(x),
(ii) lim x 2^- f(x),
(iii) lim x 2 f(x)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limites de uma função definida por partes. A questão pede para fazermos um esboço do gráfico da função e calcular três limites específicos quando se aproxima de 2: pela direita (), pela esquerda () e o limite geral . Para isso, vamos precisar entender como a função está definida para diferentes valores de e aplicar conceitos básicos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função f(x) = x^2 - 4, & se x < 2 4, & se x = 2 4 - x^2, & se x > 2 está definida:
Isso significa que a função tem três comportamentos diferentes dependendo do valor de .
Passo 3
Vamos começar calculando o limite quando limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (4 - x^2) = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0 se aproxima de 2 pela direita, ou seja, . Aqui, consideramos valores de maiores que 2, então usamos a expressão .
Calculando o limite:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (x^2 - 4) = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, . Aqui, consideramos valores de menores que 2, então usamos a expressão .
Calculando o limite:
Passo 5
Finalmente, vamos determinar o limite geral limx to 2^+ f(x) = 0 e limx to 2^- f(x) = 0 . Para que esse limite exista, os limites laterais devem ser iguais. Já vimos que:
Como ambos são iguais, concluímos que o limite geral existe e é igual a 0.