Dada
f(x)= 3 x+2, & se x<4 5 x+k, & se 4 >= x
Calcule o valor de k para que o lim x 4 f(x) exista.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos uma função definida por partes:
f(x)= 3 x+2, & se x<4 5 x+k, & se x >= 4
Queremos encontrar o valor de que faz com que o limite de quando se aproxima de 4 exista. Para resolver isso, precisamos entender como os limites laterais (à esquerda e à direita) funcionam e garantir que eles sejam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando limx to 4^- f(x) = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14 se aproxima de 4 pela esquerda ( ). Nesse caso, usamos a expressão :

Passo 3

Agora, calculamos o limite quando limx to 4^+ f(x) = 5(4) + k = 20 + k se aproxima de 4 pela direita ( ). Aqui, usamos a expressão :

Passo 4

Para que o limite geral 14 = 20 + k exista, os limites laterais devem ser iguais. Então, igualamos os dois resultados:

Passo 5

Resolvendo a equação para k = 14 - 20 k = -6 :

Resposta

O valor de que faz com que exista é .

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