Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir, se não existir, indique a razão disto.
d)
(i) ,
(ii) ,
(iii) ,
(iv) ,
(v) ,
(vi)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes, chamada , e precisamos desenhar o gráfico dela e calcular alguns limites específicos. O conteúdo envolvido aqui inclui funções por partes e limites, que são conceitos fundamentais em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como calcular os limites laterais e gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função e entender cada parte dela:
Aqui, a função muda de expressão quando passa por -3 e 3. Vamos analisar cada intervalo separadamente.
Passo 3
Vamos começar com :
Isso é simplesmente a raiz quadrada de . Para , é sempre maior ou igual a 9, então a expressão dentro da raiz é não negativa, garantindo que seja real.
Passo 4
Agora, para :
Aqui, temos a raiz quadrada de . Nesse intervalo, é menor que 9, então a expressão dentro da raiz também é não negativa, garantindo que seja real.
Passo 5
Finalmente, para :
Assim como no primeiro caso, a raiz quadrada de é real porque é maior ou igual a 9 para .
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico de . Para e , a função se parece com , que é similar a uma hipérbole deslocada. Para , temos , que é um semicírculo de raio 3.
Passo 7
Vamos agora calcular os limites solicitados.
(i)
Aqui, estamos olhando para o limite de quando se aproxima de -3 pela esquerda (). Vamos usar a primeira parte da função:
Substituindo :
Então,
(ii)
Agora, o limite quando se aproxima de -3 pela direita (). Usamos a segunda parte da função:
Substituindo :
Portanto,
(iii)
Como ambos os limites laterais são iguais a 0, o limite geral também é 0:
(iv)
Aqui, o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda (). Usamos a segunda parte da função:
Substituindo :
Então,
(v)
Agora, o limite quando se aproxima de 3 pela direita (). Usamos a terceira parte da função:
Substituindo :
Portanto,
(vi)
Como ambos os limites laterais são iguais a 0, o limite geral também é 0: