Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir, se não existir, indique a razão disto.
d)
(i) lim x -3^- F(x),
(ii) lim x -3^+ F(x),
(iii) lim x -3 F(x),
(iv) lim x 3^- F(x),
(v) lim x 3^+ F(x),
(vi) lim x 3 F(x)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes, chamada , e precisamos desenhar o gráfico dela e calcular alguns limites específicos. O conteúdo envolvido aqui inclui funções por partes e limites, que são conceitos fundamentais em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como calcular os limites laterais e gerais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função F(x) = raizx^2-9, & se x <= -3 raiz9-x^2, & se -3 < x < 3 raizx^2-9, & se 3 <= x e entender cada parte dela:
Aqui, a função muda de expressão quando passa por -3 e 3. Vamos analisar cada intervalo separadamente.
Passo 3
Vamos começar com F(x) = raizx^2-9 :
Isso é simplesmente a raiz quadrada de . Para , é sempre maior ou igual a 9, então a expressão dentro da raiz é não negativa, garantindo que seja real.
Passo 4
Agora, para F(x) = raiz9 - x^2 :
Aqui, temos a raiz quadrada de . Nesse intervalo, é menor que 9, então a expressão dentro da raiz também é não negativa, garantindo que seja real.
Passo 5
Finalmente, para F(x) = raizx^2-9 :
Assim como no primeiro caso, a raiz quadrada de é real porque é maior ou igual a 9 para .
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico de . Para e , a função se parece com , que é similar a uma hipérbole deslocada. Para , temos , que é um semicírculo de raio 3.
Passo 7
Vamos agora calcular os limites solicitados.
(i) F(x) = raizx^2-9
Aqui, estamos olhando para o limite de F(-3) = raiz(-3)^2 - 9 = raiz9 - 9 = 0 quando limx to -3^- F(x) = 0 se aproxima de -3 pela esquerda ( F(x) = raiz9 - x^2 ). Vamos usar a primeira parte da função:
F(-3) = raiz9 - (-3)^2 = raiz9 - 9 = 0
Substituindo limx to -3^+ F(x) = 0 :
limx to -3 F(x) = 0
Então,
F(x) = raiz9 - x^2
(ii) F(3) = raiz9 - 3^2 = raiz9 - 9 = 0
Agora, o limite quando limx to 3^- F(x) = 0 se aproxima de -3 pela direita ( F(x) = raizx^2-9 ). Usamos a segunda parte da função:
F(3) = raiz3^2 - 9 = raiz9 - 9 = 0
Substituindo limx to 3^+ F(x) = 0 :
limx to 3 F(x) = 0
Portanto,
(iii)
Como ambos os limites laterais são iguais a 0, o limite geral também é 0:
(iv)
Aqui, o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda (). Usamos a segunda parte da função:
Substituindo :
Então,
(v)
Agora, o limite quando se aproxima de 3 pela direita (). Usamos a terceira parte da função:
Substituindo :
Portanto,
(vi)
Como ambos os limites laterais são iguais a 0, o limite geral também é 0: