Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir, se não existir, indique a razão disto.
d)
F(x)=cc raizx^2-9, & se x <=-3 raiz9-x^2, & se -3
(i) lim x -3^- F(x),
(ii) lim x -3^+ F(x),
(iii) lim x -3 F(x),
(iv) lim x 3^- F(x),
(v) lim x 3^+ F(x),
(vi) lim x 3 F(x)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes, chamada , e precisamos desenhar o gráfico dela e calcular alguns limites específicos. O conteúdo envolvido aqui inclui funções por partes e limites, que são conceitos fundamentais em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como calcular os limites laterais e gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função F(x) = raizx^2-9, & se x <= -3 raiz9-x^2, & se -3 < x < 3 raizx^2-9, & se 3 <= x e entender cada parte dela:
Aqui, a função muda de expressão quando passa por -3 e 3. Vamos analisar cada intervalo separadamente.

Passo 3

Vamos começar com F(x) = raizx^2-9 :
Isso é simplesmente a raiz quadrada de . Para , é sempre maior ou igual a 9, então a expressão dentro da raiz é não negativa, garantindo que seja real.

Passo 4

Agora, para F(x) = raiz9 - x^2 :
Aqui, temos a raiz quadrada de . Nesse intervalo, é menor que 9, então a expressão dentro da raiz também é não negativa, garantindo que seja real.

Passo 5

Finalmente, para F(x) = raizx^2-9 :
Assim como no primeiro caso, a raiz quadrada de é real porque é maior ou igual a 9 para .

Passo 6

Agora, vamos esboçar o gráfico de . Para e , a função se parece com , que é similar a uma hipérbole deslocada. Para , temos , que é um semicírculo de raio 3.

Passo 7

Vamos agora calcular os limites solicitados.

(i) F(x) = raizx^2-9

Aqui, estamos olhando para o limite de F(-3) = raiz(-3)^2 - 9 = raiz9 - 9 = 0 quando limx to -3^- F(x) = 0 se aproxima de -3 pela esquerda ( F(x) = raiz9 - x^2 ). Vamos usar a primeira parte da função:
F(-3) = raiz9 - (-3)^2 = raiz9 - 9 = 0
Substituindo limx to -3^+ F(x) = 0 :
limx to -3 F(x) = 0
Então,
F(x) = raiz9 - x^2

(ii) F(3) = raiz9 - 3^2 = raiz9 - 9 = 0

Agora, o limite quando limx to 3^- F(x) = 0 se aproxima de -3 pela direita ( F(x) = raizx^2-9 ). Usamos a segunda parte da função:
F(3) = raiz3^2 - 9 = raiz9 - 9 = 0
Substituindo limx to 3^+ F(x) = 0 :
limx to 3 F(x) = 0
Portanto,

(iii)

Como ambos os limites laterais são iguais a 0, o limite geral também é 0:

(iv)

Aqui, o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ). Usamos a segunda parte da função:
Substituindo :
Então,

(v)

Agora, o limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ). Usamos a terceira parte da função:
Substituindo :
Portanto,

(vi)

Como ambos os limites laterais são iguais a 0, o limite geral também é 0:

Resposta

Todos os limites calculados são iguais a zero:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)

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