Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir, se não existir, indique a razão disto.
d)
(i) ,
(ii) ,
(iii) ,
(iv) ,
(v) ,
(vi)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes, chamada , e precisamos desenhar o gráfico dela e calcular alguns limites específicos. O conteúdo envolvido aqui inclui funções por partes e limites, que são conceitos fundamentais em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e como calcular os limites laterais e gerais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função e entender cada parte dela:
Aqui, a função muda de expressão quando passa por -3 e 3. Vamos analisar cada intervalo separadamente.

Passo 3

Vamos começar com :
Isso é simplesmente a raiz quadrada de . Para , é sempre maior ou igual a 9, então a expressão dentro da raiz é não negativa, garantindo que seja real.

Passo 4

Agora, para :
Aqui, temos a raiz quadrada de . Nesse intervalo, é menor que 9, então a expressão dentro da raiz também é não negativa, garantindo que seja real.

Passo 5

Finalmente, para :
Assim como no primeiro caso, a raiz quadrada de é real porque é maior ou igual a 9 para .

Passo 6

Agora, vamos esboçar o gráfico de . Para e , a função se parece com , que é similar a uma hipérbole deslocada. Para , temos , que é um semicírculo de raio 3.

Passo 7

Vamos agora calcular os limites solicitados.

(i)

Aqui, estamos olhando para o limite de quando se aproxima de -3 pela esquerda ( ). Vamos usar a primeira parte da função:
Substituindo :
Então,

(ii)

Agora, o limite quando se aproxima de -3 pela direita ( ). Usamos a segunda parte da função:
Substituindo :
Portanto,

(iii)

Como ambos os limites laterais são iguais a 0, o limite geral também é 0:

(iv)

Aqui, o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ). Usamos a segunda parte da função:
Substituindo :
Então,

(v)

Agora, o limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ). Usamos a terceira parte da função:
Substituindo :
Portanto,

(vi)

Como ambos os limites laterais são iguais a 0, o limite geral também é 0:

Resposta

Todos os limites calculados são iguais a zero:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)

Exercícios relacionados

Seja .
a) Encontre e .
Determine um tal que a definição seja válida para o dado.
(d) .
Calcule o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
h)
Calcule o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
n)