Calcule o limite de cada sequência de funções, em seguida classifique o tipo de convergência (simples ou uniforme):
Passo 1
Vamos lá! Temos uma sequência de funções definida por . Nosso objetivo é calcular o limite dessa sequência para todo em e depois determinar se essa convergência é simples (pontual) ou uniforme. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções e entender os tipos de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o limite de quando tende ao infinito para um valor fixo de . Observamos que a função cosseno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer . Assim, o numerador está sempre limitado por esses valores:
Passo 3
Agora, olhemos para o denominador . À medida que cresce, o logaritmo natural de , , também cresce sem limites, ou seja, tende para infinito conforme vai para infinito:
Passo 4
Combinando as informações do numerador e denominador, temos:
Como está entre -1 e 1, e cresce para infinito, o valor de tende a zero:
Então, para cada , se aproxima de zero conforme aumenta.
Passo 5
Agora, vamos determinar o tipo de convergência. A convergência simples significa que, para cada , tende para . Já a convergência uniforme significa que a diferença entre e pode ser tornada menor que qualquer número positivo, independentemente de .
Passo 6
Para verificar a convergência uniforme, vamos calcular o supremo de em todo o domínio:
Isso porque o máximo valor absoluto de é 1.
Passo 7
Como tende a zero quando tende a infinito:
Isso mostra que a convergência é uniforme, já que a diferença máxima entre e o limite tende a zero independentemente de .
Resposta
A sequência de funções converge para zero de maneira uniforme em .