Utilize o teste M de Weierstrass para mostrar que a série indicada converge absoluta e uniformemente no domínio indicado:
sumn=1^infty x^n3 n+1 em [-r, r], 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa usar o Teste M de Weierstrass para mostrar que a série converge absolutamente e de forma uniforme no intervalo , onde . Basicamente, vamos verificar se dá para encontrar um limite que garanta essa convergência usando esse teste.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste M de Weierstrass. Ele diz que se temos uma série de funções e existe uma sequência de números tal que para todo no domínio, e se a série converge, então a série original converge absolutamente e de forma uniforme nesse domínio.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, vamos identificar e encontrar um que satisfaça .
Aqui, .
Então, .

Passo 4

Queremos encontrar um |x|^n3n+1 <= r^n3n+1 que seja maior ou igual a r^n3n+1 <= r^n3n = Mn para todo .
Como , sabemos que . Então,
Podemos escolher , já que , o que torna .
Portanto,

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a série converge.
Podemos notar que é uma série convergente porque é uma constante múltipla da série geométrica com razão .
Além disso, como é apenas uma constante multiplicativa, a série também converge.

Passo 6

Como encontramos uma sequência que domina para todo e a série converge, pelo Teste M de Weierstrass, a série original converge absolutamente e de forma uniforme no intervalo .

Resposta

A série converge absolutamente e uniformemente no domínio , onde , pelo Teste M de Weierstrass.

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