Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
, sendo
. R.: 0
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite da sequência
, onde
é um número racional. A gente vai usar conhecimentos de funções trigonométricas e propriedades de números racionais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número racional
pode ser escrito como
, onde
e
são inteiros e
.
Passo 3
Agora, substituindo
na expressão da sequência, temos:
Passo 4
Observa que
(fatorial de
) cresce muito rápido e, para
, o fatorial
é múltiplo de
. Isso porque
é um divisor de
quando
é pelo menos igual a
.
Passo 5
Então, para
, podemos escrever
para algum inteiro
. Substitute isso na expressão:
Passo 6
Assim, a expressão da sequência para
fica:
Sabemos que
de qualquer múltiplo inteiro de
é zero, ou seja,
.
Passo 7
Portanto, para todo
,
. Isso significa que a sequência se torna constantemente zero a partir de um certo ponto.
Resposta
O limite da sequência
, onde
é racional, é
.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos de acumulação de cada sequência
abaixo
R.: -1 e 1 , existe também uma subsequência se acumulando em
Com relação à sequência
dada por:
.
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações