Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
, sendo . R.: 0

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite da sequência , onde é um número racional. A gente vai usar conhecimentos de funções trigonométricas e propriedades de números racionais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número racional pode ser escrito como , onde e são inteiros e .

Passo 3

Agora, substituindo na expressão da sequência, temos:

Passo 4

Observa que (fatorial de ) cresce muito rápido e, para , o fatorial é múltiplo de . Isso porque é um divisor de quando é pelo menos igual a .

Passo 5

Então, para , podemos escrever para algum inteiro . Substitute isso na expressão:

Passo 6

Assim, a expressão da sequência para fica:
Sabemos que de qualquer múltiplo inteiro de é zero, ou seja, .

Passo 7

Portanto, para todo , . Isso significa que a sequência se torna constantemente zero a partir de um certo ponto.

Resposta

O limite da sequência , onde é racional, é .

Exercícios relacionados

Encontre os pontos de acumulação de cada sequência abaixo
R.: -1 e 1 , existe também uma subsequência se acumulando em
Com relação à sequência dada por: .
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações