Com relação à sequência dada por: .
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por e para todo . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência chega a um ponto final, ou seja, se ela converge. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, especialmente sobre como identificar se uma sequência é crescente e está limitada, o que nos ajuda a saber se ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a sequência está sempre aumentando. Começamos com . Então:
Agora, . Vamos checar :
Viu só? . Parece que a sequência está crescendo. De fato, se assumirmos que , então:
Elevando ao quadrado ambos os lados para facilitar:
Resolvendo essa inequação, percebemos que para valores positivos, a sequência continua aumentando. Então, a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, vamos ver se essa sequência está limitada, ou seja, se existe um número que ela nunca ultrapassa. Observando a definição:
Sabemos que a raiz quadrada de qualquer coisa é positiva, então a sequência nunca vai ser negativa. Mas queremos um limite superior. Suponha que a sequência convirja para um limite . Então, no limite:
Isso implica que satisfaz essa equação. Vamos resolver:
Resolvendo a equação quadrática:
Como é positivo, temos:
Então, parece que a sequência não ultrapassa 3. Portanto, a sequência está limitada acima por 3.

Passo 4

Como a sequência é crescente (sempre aumentando) e está limitada acima (não passa de 3), pela propriedade das sequências monótonas, sabemos que ela converge. Ou seja, ela tem um limite, e já identificamos que esse limite deve ser 3.

Passo 5

Para confirmar, vamos assumir que a sequência realmente converge para :
Tudo batendo certinho!

Resposta

Sim, a sequência converge e seu limite é .

Exercícios relacionados

Com relação à sequência definida por :
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.: 1
Encontre os pontos de acumulação de cada sequência abaixo
R.: -1 e 1 , existe também uma subsequência se acumulando em
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
, sendo . R.: 0