Com relação à sequência
dada por:
.
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
e
para todo
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência chega a um ponto final, ou seja, se ela converge. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, especialmente sobre como identificar se uma sequência é crescente e está limitada, o que nos ajuda a saber se ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a sequência está sempre aumentando. Começamos com
. Então:
Agora,
. Vamos checar
:
Viu só?
. Parece que a sequência está crescendo. De fato, se assumirmos que
, então:
Elevando ao quadrado ambos os lados para facilitar:
Resolvendo essa inequação, percebemos que para valores positivos, a sequência continua aumentando. Então, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos ver se essa sequência está limitada, ou seja, se existe um número que ela nunca ultrapassa. Observando a definição:
Sabemos que a raiz quadrada de qualquer coisa é positiva, então a sequência nunca vai ser negativa. Mas queremos um limite superior. Suponha que a sequência convirja para um limite
. Então, no limite:
Isso implica que
satisfaz essa equação. Vamos resolver:
Resolvendo a equação quadrática:
Como
é positivo, temos:
Então, parece que a sequência não ultrapassa 3. Portanto, a sequência está limitada acima por 3.
Passo 4
Como a sequência é crescente (sempre aumentando) e está limitada acima (não passa de 3), pela propriedade das sequências monótonas, sabemos que ela converge. Ou seja, ela tem um limite, e já identificamos que esse limite deve ser 3.
Passo 5
Para confirmar, vamos assumir que a sequência realmente converge para
:
Tudo batendo certinho!
Resposta
Sim, a sequência converge e seu limite é
.
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Com relação à sequência
definida por
:
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.: 1
Encontre os pontos de acumulação de cada sequência
abaixo
R.: -1 e 1 , existe também uma subsequência se acumulando em
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
, sendo
. R.: 0