Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por an, justificando suas operações
an=1+12+13+ldots+1nn( Dica: 1+12+13+ldots+1n<1+integral1^n(1 / x) d x) R: 0

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular o limite da sequência cujo termo geral é:
an = 1 + 12 + 13 + ldots + 1nn
Esse somatório no numerador é conhecido como a série harmônica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, séries e integrais, especialmente a relação entre a série harmônica e a integral do logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o numerador de 1 + 12 + 13 + ldots + 1n = sumk=1^n 1k :
Esse somatório é a série harmônica, que cresce sem limites conforme aumenta. No entanto, como ela está dividida por , vamos ver como isso afeta o comportamento da sequência.

Passo 3

A dica que a gente tem é que:
1 + 12 + 13 + ldots + 1n < 1 + integral1^n 1x dx
Vamos entender isso. A ideia é comparar a série harmônica com a integral de sumk=1^n 1k < 1 + ln(n) . A integral de de 1 até é igual a . Então:
Isso nos dá uma forma de estimar o crescimento da série harmônica.

Passo 4

Agora, vamos voltar à expressão original de an = 1 + 12 + 13 + ldots + 1nn < 1 + ln(n)n :
Queremos encontrar o limite de quando tende ao infinito. Então, vamos analisar o limite de .

Passo 5

Para calcular o limite de limn to infty ln(n)n = 0 quando vai para o infinito, podemos observar que cresce mais lentamente que . Basicamente, o numerador cresce como , que é bem menor que o crescimento linear de no denominador.
Matematicamente, sabemos que:
E claro, também tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 6

Então, combinando essas observações:
limn to infty 1 + ln(n)n = 0
Como limn to infty an = 0 está menor que algo que tende a zero, podemos concluir que:

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é 0.

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