Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular o limite da sequência cujo termo geral é:
Esse somatório no numerador é conhecido como a série harmônica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, séries e integrais, especialmente a relação entre a série harmônica e a integral do logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o numerador de :
Esse somatório é a série harmônica, que cresce sem limites conforme aumenta. No entanto, como ela está dividida por , vamos ver como isso afeta o comportamento da sequência.

Passo 3

A dica que a gente tem é que:
Vamos entender isso. A ideia é comparar a série harmônica com a integral de . A integral de de 1 até é igual a . Então:
Isso nos dá uma forma de estimar o crescimento da série harmônica.

Passo 4

Agora, vamos voltar à expressão original de :
Queremos encontrar o limite de quando tende ao infinito. Então, vamos analisar o limite de .

Passo 5

Para calcular o limite de quando vai para o infinito, podemos observar que cresce mais lentamente que . Basicamente, o numerador cresce como , que é bem menor que o crescimento linear de no denominador.
Matematicamente, sabemos que:
E claro, também tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 6

Então, combinando essas observações:
Como está menor que algo que tende a zero, podemos concluir que:

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é 0.

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Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
, sendo . R.: 0
Podemos afirmar que se então ? E a recíproca dessa afirmação? É falsa ou verdadeira?
R.: Sim, pois à medida que se aproxima de se aproxima de , uma vez que é uma função contínua. A recíproca é falsa, basta considerar , por exemplo.
Considere a sequência definida por .
Calcule o limite da sequência.