Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para calcular o limite da sequência cujo termo geral é:
Esse somatório no numerador é conhecido como a série harmônica. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, séries e integrais, especialmente a relação entre a série harmônica e a integral do logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o numerador de
:
Esse somatório é a série harmônica, que cresce sem limites conforme
aumenta. No entanto, como ela está dividida por
, vamos ver como isso afeta o comportamento da sequência.
Passo 3
A dica que a gente tem é que:
Vamos entender isso. A ideia é comparar a série harmônica com a integral de
. A integral de
de 1 até
é igual a
. Então:
Isso nos dá uma forma de estimar o crescimento da série harmônica.
Passo 4
Agora, vamos voltar à expressão original de
:
Queremos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito. Então, vamos analisar o limite de
.
Passo 5
Para calcular o limite de
quando
vai para o infinito, podemos observar que
cresce mais lentamente que
. Basicamente, o numerador cresce como
, que é bem menor que o crescimento linear de
no denominador.
Matematicamente, sabemos que:
E claro,
também tende a zero quando
vai para o infinito.
Passo 6
Então, combinando essas observações:
Como
está menor que algo que tende a zero, podemos concluir que:
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é 0.
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Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
, sendo
. R.: 0
Podemos afirmar que se
então
? E a recíproca dessa afirmação? É falsa ou verdadeira?
R.: Sim, pois à medida que se aproxima de
se aproxima de
, uma vez que
é uma função contínua. A recíproca é falsa, basta considerar
, por exemplo.
R.: Sim, pois à medida que
Considere a sequência
definida por
.
Calcule o limite da sequência.
Calcule o limite da sequência.