Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por a_n, justificando suas operações
a_n = n^1999 / (n^2000 - (n-1)^2000) R. 1/2000

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida pelo termo geral . Nosso objetivo é calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e manipulação algébrica de expressões com potências.

Passo 2

Vamos começar simplificando o denominador . Para isso, podemos usar uma aproximação para grandes valores de .
Sabemos que para grande, pode ser expandido usando o binômio de Newton, mas vamos considerar apenas os termos principais:

Passo 3

Substituindo essa aproximação no denominador:
Para grande, os termos de ordem inferior são desprezados, então o denominador fica aproximadamente .

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão original da sequência:

Resposta

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