Encontre os pontos de acumulação de cada sequência
abaixo
R.: -1 e 1 , existe também uma subsequência se acumulando em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de acumulação da sequência definida por
. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites. Vamos analisar como os termos da sequência se comportam conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ponto de acumulação. Um ponto de acumulação de uma sequência é um valor para o qual os termos da sequência se aproximam infinitamente. Pode haver mais de um ponto de acumulação para uma mesma sequência.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão dentro da sequência:
. Sabemos que o cosseno de um ângulo se repete a cada
radianos devido à periodicidade da função. Então, vamos calcular
para diferentes valores de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
Percebemos que
alterna entre
e
dependendo do valor de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
- Quando
: - Quando
:
Portanto, a base da nossa sequência
alterna entre
e
.
Passo 5
Agora, vamos observar como
se comporta com esses valores:
- Quando a base é
: . Conforme cresce, cresce para . - Quando a base é
: . Isso alterna entre e dependendo se é ímpar ou par.
Passo 6
Então, temos:
- Subsequência com base 2:
tende a . - Subsequência com base -1:
- Para
par: - Para
ímpar:
- Para
Passo 7
Com isso, identificamos os pontos de acumulação da sequência:
-
e são pontos de acumulação porque existem subsequências que convergem para esses valores. - Além disso, há uma subsequência que tende para
, que também é considerado um ponto de acumulação no sentido estendido.
Resposta
Os pontos de acumulação da sequência são
e
, e existe também uma subsequência que se acumula em
.
Exercícios relacionados
Com relação à sequência
dada por:
.
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Com relação à sequência
definida por
:
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
, sendo
. R.: 0
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.