Encontre os pontos de acumulação de cada sequência abaixo
R.: -1 e 1 , existe também uma subsequência se acumulando em

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de acumulação da sequência definida por . Para isso, vamos usar conceitos de sequências e limites. Vamos analisar como os termos da sequência se comportam conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ponto de acumulação. Um ponto de acumulação de uma sequência é um valor para o qual os termos da sequência se aproximam infinitamente. Pode haver mais de um ponto de acumulação para uma mesma sequência.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão dentro da sequência: . Sabemos que o cosseno de um ângulo se repete a cada radianos devido à periodicidade da função. Então, vamos calcular para diferentes valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.
Percebemos que alterna entre e dependendo do valor de .

Passo 4

Agora, vamos calcular :
  • Quando :
  • Quando :
Portanto, a base da nossa sequência alterna entre e .

Passo 5

Agora, vamos observar como se comporta com esses valores:
  • Quando a base é : . Conforme cresce, cresce para .
  • Quando a base é : . Isso alterna entre e dependendo se é ímpar ou par.

Passo 6

Então, temos:
  • Subsequência com base 2: tende a .
  • Subsequência com base -1:
    • Para par:
    • Para ímpar:

Passo 7

Com isso, identificamos os pontos de acumulação da sequência:
  • e são pontos de acumulação porque existem subsequências que convergem para esses valores.
  • Além disso, há uma subsequência que tende para , que também é considerado um ponto de acumulação no sentido estendido.

Resposta

Os pontos de acumulação da sequência são e , e existe também uma subsequência que se acumula em .

Exercícios relacionados

Com relação à sequência dada por: .
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Com relação à sequência definida por :
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
, sendo . R.: 0
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.