Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por a_n, justificando suas operações
a_n = ((-1)^n * n!) / (1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1)) R.: 0

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão pede para calcular o limite da sequência . Isso envolve entender como funciona uma sequência e usar conceitos de fatorial e produtos de números ímpares para encontrar o limite quando cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um fatorial. O fatorial de , escrito como , é o produto de todos os números inteiros de 1 até . Por exemplo, .

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador da nossa sequência: . Esse produto é o resultado de multiplicar todos os números ímpares até . Podemos notar que esse produto cresce bem rápido conforme aumenta.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão da sequência para facilitar a análise:
Observando, percebemos que o numerador é e o denominador é o produto de números ímpares até .

Passo 5

Para comparar o crescimento do numerador e do denominador, vamos notar que cresce rapidamente, mas o produto no denominador cresce ainda mais rápido porque envolve apenas números ímpares, que são maiores que 1 a partir de certo ponto.

Passo 6

À medida que aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador . Isso faz com que a fração inteira fique cada vez menor.

Passo 7

Além disso, o termo apenas alterna o sinal da sequência, mas não afeta o limite em módulo. Então, focamos no valor absoluto para determinar o limite.

Passo 8

Com o denominador crescendo mais rápido, o valor absoluto de tende a zero à medida que vai para o infinito.

Resposta

O limite da sequência é .

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