Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.: 0
Passo 1
Beleza, vamos começar! A questão pede para calcular o limite da sequência
. Isso envolve entender como funciona uma sequência e usar conceitos de fatorial e produtos de números ímpares para encontrar o limite quando
cresce sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um fatorial. O fatorial de
, escrito como
, é o produto de todos os números inteiros de 1 até
. Por exemplo,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador da nossa sequência:
. Esse produto é o resultado de multiplicar todos os números ímpares até
. Podemos notar que esse produto cresce bem rápido conforme
aumenta.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão da sequência para facilitar a análise:
Observando, percebemos que o numerador é
e o denominador é o produto de números ímpares até
.
Passo 5
Para comparar o crescimento do numerador e do denominador, vamos notar que
cresce rapidamente, mas o produto no denominador cresce ainda mais rápido porque envolve apenas números ímpares, que são maiores que 1 a partir de certo ponto.
Passo 6
À medida que
aumenta, o denominador
cresce mais rápido que o numerador
. Isso faz com que a fração inteira fique cada vez menor.
Passo 7
Além disso, o termo
apenas alterna o sinal da sequência, mas não afeta o limite em módulo. Então, focamos no valor absoluto para determinar o limite.
Passo 8
Com o denominador crescendo mais rápido, o valor absoluto de
tende a zero à medida que
vai para o infinito.
Resposta
O limite da sequência é
.
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R.:
Considere a sequência
definida por
.
Calcule o limite da sequência.
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em torno de
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