Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos. em torno de

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo envolvendo volumes de sólidos de rotação. A gente tem duas funções, e , e queremos encontrar o volume do sólido que forma quando a região entre essas curvas, de até , é girada em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos ou arruelas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas e no intervalo de a . Entre esses valores de , começa em 1 e decresce, enquanto começa em 0 e aumenta. No ponto , ambas são iguais a .

Passo 3

Como vamos girar em torno de , precisamos ajustar as funções para calcular a distância de cada curva a essa reta. Isso é feito adicionando 1 a cada função para deslocar o eixo de rotação para a origem. Assim, as novas funções serão:

Passo 4

O volume de cada “anel” (arruela) é dado pela diferença entre as áreas dos discos externo e interno, multiplicada pela espessura :
Expandindo os quadrados:
A diferença fica:

Passo 5

Integrando de a , o volume total é:
Simplificando usando identidades trigonométricas:
Então:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Portanto:

Passo 7

Calculando nos limites:
Para :
Para :
A diferença é:

Passo 8

Multiplicando por :
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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