Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
em torno de
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo envolvendo volumes de sólidos de rotação. A gente tem duas funções,
e
, e queremos encontrar o volume do sólido que forma quando a região entre essas curvas, de
até
, é girada em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou arruelas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas
e
no intervalo de
a
. Entre esses valores de
,
começa em 1 e decresce, enquanto
começa em 0 e aumenta. No ponto
, ambas são iguais a
.
Passo 3
Como vamos girar em torno de
, precisamos ajustar as funções para calcular a distância de cada curva a essa reta. Isso é feito adicionando 1 a cada função para deslocar o eixo de rotação para a origem. Assim, as novas funções serão:
Passo 4
O volume de cada “anel” (arruela) é dado pela diferença entre as áreas dos discos externo e interno, multiplicada pela espessura
:
Expandindo os quadrados:
A diferença fica:
Passo 5
Integrando de
a
, o volume total é:
Simplificando usando identidades trigonométricas:
Então:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 7
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
A diferença é:
Passo 8
Multiplicando por
:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.: 0
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.:
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Dê exemplos de duas sequências
e
tais que
mas que
é divergente.