Considere a sequência {a_n}_{n=1}^{infinito} definida por a1 = 3/2, an+1 = an/2 + 1/an.
Calcule o limite da sequência.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar o limite da sequência {a_n}_{n=1}^{infinito} definida por e . Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e resolver uma equação para encontrar o valor que a sequência converge.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência tem um limite, que vamos chamar de L. Se a sequência converge, então tanto a_n quanto a_{n+1} vão se aproximar de L conforme n cresce. Então, podemos substituir a_n e a_{n+1} por L na relação de recorrência:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de L. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Isso simplifica para:

Passo 4

Subtraindo de ambos os lados da equação, temos:
Então:

Passo 5

Para encontrar L, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como estamos lidando com uma sequência positiva, descartamos a raiz negativa.

Resposta

O limite da sequência é raiz(2).

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