Considere a sequência
definida por
.
Calcule o limite da sequência.
Calcule o limite da sequência.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar o limite da sequência
definida por
e
. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e resolver uma equação para encontrar o valor que a sequência converge.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a sequência tem um limite, que vamos chamar de
. Se a sequência converge, então tanto
quanto
vão se aproximar de
conforme
cresce. Então, podemos substituir
e
por
na relação de recorrência:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Isso simplifica para:
Passo 4
Subtraindo
de ambos os lados da equação, temos:
Então:
Passo 5
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como estamos lidando com uma sequência positiva, descartamos a raiz negativa.
Resposta
O limite da sequência é
.
Exercícios relacionados
Podemos afirmar que se
então
? E a recíproca dessa afirmação? É falsa ou verdadeira?
R.: Sim, pois à medida que se aproxima de
se aproxima de
, uma vez que
é uma função contínua. A recíproca é falsa, basta considerar
, por exemplo.
R.: Sim, pois à medida que
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.:
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.: 0