Considere a sequência definida por .
Calcule o limite da sequência.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar o limite da sequência definida por e . Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e resolver uma equação para encontrar o valor que a sequência converge.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência tem um limite, que vamos chamar de . Se a sequência converge, então tanto quanto vão se aproximar de conforme cresce. Então, podemos substituir e por na relação de recorrência:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de . Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Isso simplifica para:

Passo 4

Subtraindo de ambos os lados da equação, temos:
Então:

Passo 5

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como estamos lidando com uma sequência positiva, descartamos a raiz negativa.

Resposta

O limite da sequência é .

Exercícios relacionados

Podemos afirmar que se então ? E a recíproca dessa afirmação? É falsa ou verdadeira?
R.: Sim, pois à medida que se aproxima de se aproxima de , uma vez que é uma função contínua. A recíproca é falsa, basta considerar , por exemplo.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.:
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.: 0