Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.: 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da sequência cujo termo geral é dado por . Vamos usar conhecimentos de limites, especialmente envolvendo funções trigonométricas e comportamento de funções à medida que cresce para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da fração conforme cresce. No numerador, temos , e no denominador temos .

Passo 3

Sabemos que o seno e o cosseno de qualquer número estão sempre entre -1 e 1. Ou seja:
Isso significa que, conforme fica muito grande, o e o se tornam negligenciáveis comparados com .

Passo 4

Podemos reescrever a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por :
Agora, vamos analisar os termos e .

Passo 5

Como e estão entre -1 e 1, temos:
Quando tende ao infinito, tende a 0. Portanto:

Passo 6

Substituindo esses limites na nossa expressão:

Resposta

1

Exercícios relacionados

Considere a sequência definida por .
Usando o princípio da indução, mostre que e que a sequência é decrescente.
Com relação à sequência dada por: .
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.: 0
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.:-1