Podemos afirmar que se lim n infty xn=a então lim n infty|xn|=|a| ? E a recíproca dessa afirmação? É falsa ou verdadeira?
R.: Sim, pois à medida que xn se aproxima de a,|xn| se aproxima de |a|, uma vez que f(x)=|x| é uma função contínua. A recíproca é falsa, basta considerar xn=(-1)^n nn+1, por exemplo.

Passo 1

Vamos resolver uma questão sobre limites de sequências e funções contínuas. O enunciado pergunta se, quando uma sequência converge para , a sequência dos valores absolutos também converge para . Além disso, queremos saber se a recíproca dessa afirmação é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limites de sequências e a propriedade de continuidade da função valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira parte da afirmação: “Se , então .” Sabemos que a função é contínua em todos os pontos do seu domínio. Uma propriedade importante das funções contínuas é que, se e é contínua em , então .

Passo 3

Aplicando essa propriedade à nossa situação, como limn to infty |xn| = |limn to infty xn| = |a| é contínua, temos:
Portanto, a primeira parte da afirmação é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos verificar a recíproca: “Se , então .” Para ver se isso é sempre verdade, precisamos encontrar um exemplo onde , mas .

Passo 5

Considere a sequência |xn| = | (-1)^n nn + 1 | = nn + 1 . Vamos calcular o limite de limn to infty |xn| = limn to infty nn + 1 = 1 :
limn to infty xn = limn to infty (-1)^n nn + 1
Agora, vamos calcular o limite de :
Esse limite não existe porque a sequência oscila entre valores positivos e negativos que se aproximam de 1 e -1, respectivamente.

Resposta

Sim, se , então é verdadeiro, já que a função valor absoluto é contínua. A recíproca é falsa, como demonstrado pelo exemplo da sequência , onde , mas não existe.

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