Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por a_n, justificando suas operações
a_n = (n^2 + n)^(1/(2n + 1)) R.:1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da sequência cujo termo geral é . Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de logaritmos e exponenciais para resolver isso. Vou te mostrar passo a passo como chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da expressão do termo geral. Isso nos ajuda a transformar a potência em uma multiplicação, o que simplifica as coisas. Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito. Vamos analisar cada parte dessa expressão separadamente. Primeiro, vamos observar o que acontece com quando cresce muito.
Para grandes valores de , é aproximadamente igual a , pois domina o termo . Então:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão de , temos:
Agora, vamos simplificar essa fração. Para facilitar, vamos dividir o numerador e o denominador por :

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando tende ao infinito. Sabemos que tende a 0 porque o logaritmo cresce mais lentamente que uma função linear. Além disso, também tende a 0. Portanto:

Passo 6

Finalmente, como encontramos que , podemos usar a propriedade das exponenciais para encontrar o limite de :

Resposta

O limite da sequência é 1.

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