Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.:1
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da sequência cujo termo geral é
. Vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de logaritmos e exponenciais para resolver isso. Vou te mostrar passo a passo como chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da expressão do termo geral. Isso nos ajuda a transformar a potência em uma multiplicação, o que simplifica as coisas. Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Vamos analisar cada parte dessa expressão separadamente. Primeiro, vamos observar o que acontece com
quando
cresce muito.
Para grandes valores de
,
é aproximadamente igual a
, pois
domina o termo
. Então:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão de
, temos:
Agora, vamos simplificar essa fração. Para facilitar, vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito. Sabemos que
tende a 0 porque o logaritmo cresce mais lentamente que uma função linear. Além disso,
também tende a 0. Portanto:
Passo 6
Finalmente, como encontramos que
, podemos usar a propriedade das exponenciais para encontrar o limite de
:
Resposta
O limite da sequência é 1.
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Encontre os pontos de acumulação de cada sequência
abaixo
R.: 0 e 2
Considere a sequência
definida pela recorrência
,
,
. Justifique porque a sequência converge e porque seu limite é igual a
.
Considere a sequência
.
Exiba duas subsequências limitadas e duas não limitadas.
Exiba duas subsequências limitadas e duas não limitadas.