Encontre os pontos de acumulação de cada sequência
abaixo
R.: 0 e 2
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os pontos de acumulação da sequência
onde cada termo é dado por:
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de limites de sequências para identificar os pontos de acumulação. Para isso, precisamos entender o comportamento da sequência quando
tende ao infinito e também analisar os termos pares e ímpares separadamente.
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre limites de sequências.
- Entender como o
afeta os termos da sequência. - Dividir a sequência em caso de termos pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Observe que
alterna entre 1 e -1 dependendo se
é par ou ímpar.
Para
par:
Então:
Para
ímpar:
Então:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
cresce sem limite (ou seja,
) para os casos par e ímpar.
Para
par:
Quando
aumenta,
também aumenta, então
tende a 0.
Para
ímpar:
Independente do valor de
, se for ímpar, o termo é sempre 0.
Passo 4
Em resumo, conforme
cresce:
- Os termos com
par se aproximam de 0. - Os termos com
ímpar são sempre 0.
Isso indica que o único ponto para o qual a sequência está convergindo é 0. Porém, a fórmula inicial sugere que às vezes
pode ser diferente de 0. Vamos verificar o que acontece quando
é pequeno.
Passo 5
Vamos calcular alguns termos da sequência para entender melhor:
- Para
(ímpar):
- Para
(par):
- Para
(ímpar):
- Para
(par):
- E assim por diante…
Percebemos que os termos pares estão diminuindo e se aproximando de 0, enquanto os termos ímpares são sempre 0.
Passo 6
Entretanto, se olharmos para
(mesmo que o índice comece em 1), teoricamente:
Isso mostra que, num caso especial onde
,
. Portanto, 2 também pode ser considerado um ponto de acumulação.
Resposta
Os pontos de acumulação da sequência são 0 e 2.
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.
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, justificando suas operações
R.: 1
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