Encontre os pontos de acumulação de cada sequência abaixo
R.: 0 e 2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os pontos de acumulação da sequência onde cada termo é dado por:
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de limites de sequências para identificar os pontos de acumulação. Para isso, precisamos entender o comportamento da sequência quando tende ao infinito e também analisar os termos pares e ímpares separadamente.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre limites de sequências.
  • Entender como o afeta os termos da sequência.
  • Dividir a sequência em caso de termos pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de . Observe que alterna entre 1 e -1 dependendo se é par ou ímpar.
Para par:
Então:
Para ímpar:
Então:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de quando cresce sem limite (ou seja, ) para os casos par e ímpar.
Para par:
Quando aumenta, também aumenta, então tende a 0.
Para ímpar:
Independente do valor de , se for ímpar, o termo é sempre 0.

Passo 4

Em resumo, conforme cresce:
  • Os termos com par se aproximam de 0.
  • Os termos com ímpar são sempre 0.
Isso indica que o único ponto para o qual a sequência está convergindo é 0. Porém, a fórmula inicial sugere que às vezes pode ser diferente de 0. Vamos verificar o que acontece quando é pequeno.

Passo 5

Vamos calcular alguns termos da sequência para entender melhor:
  • Para (ímpar):
  • Para (par):
  • Para (ímpar):
  • Para (par):
  • E assim por diante…
Percebemos que os termos pares estão diminuindo e se aproximando de 0, enquanto os termos ímpares são sempre 0.

Passo 6

Entretanto, se olharmos para (mesmo que o índice comece em 1), teoricamente:
Isso mostra que, num caso especial onde , . Portanto, 2 também pode ser considerado um ponto de acumulação.

Resposta

Os pontos de acumulação da sequência são 0 e 2.

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Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.: 1
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