Com relação à sequência
definida por
:
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por
e
para
. A matéria aqui envolve sequências numéricas, indução matemática e teoria de limites. Vamos precisar mostrar que a sequência é crescente e limitada usando indução, e depois verificar se ela converge e encontrar o seu limite.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que a sequência é crescente, ou seja, que cada termo é maior ou igual ao anterior. Para isso, usamos o princípio da indução matemática.
Base da indução: Para
, temos
e
. Claro que
.
Hipótese de indução: Suponha que
para algum
.
Passo de indução: Vamos mostrar que
.
Sabemos que:
E
Como
, temos
, o que implica:
Portanto, a sequência é crescente por indução.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada. Vamos encontrar um limite superior que a sequência não ultrapassa.
Observando os primeiros termos:
Parece que a sequência está se aproximando de um certo valor. Vamos supor que ela seja limitada por
.
Queremos encontrar um
tal que
para todo
.
Assumindo que
(já que
será sempre menor que 3 se
).
Vamos provar isso por indução.
Base da indução:
.
Hipótese de indução: Suponha que
.
Passo de indução: Então,
Portanto, a sequência é limitada por 3.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência converge. Como ela é crescente e limitada, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela converge.
Vamos encontrar o limite
. Sabemos que:
Resolvendo essa equação para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como a sequência é crescente e começa em 1, escolhemos a raiz positiva:
Resposta
a. A sequência
é crescente e limitada.
b. A sequência converge, e seu limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.: 1
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
, sendo
. R.: 0
Com relação à sequência
dada por:
.
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Encontre os pontos de acumulação de cada sequência
abaixo
R.: -1 e 1 , existe também uma subsequência se acumulando em