Com relação à sequência definida por :
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência definida por e para . A matéria aqui envolve sequências numéricas, indução matemática e teoria de limites. Vamos precisar mostrar que a sequência é crescente e limitada usando indução, e depois verificar se ela converge e encontrar o seu limite.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que a sequência é crescente, ou seja, que cada termo é maior ou igual ao anterior. Para isso, usamos o princípio da indução matemática.
Base da indução: Para , temos e . Claro que .
Hipótese de indução: Suponha que para algum .
Passo de indução: Vamos mostrar que .
Sabemos que:
E
Como , temos , o que implica:
Portanto, a sequência é crescente por indução.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a sequência é limitada. Vamos encontrar um limite superior que a sequência não ultrapassa.
Observando os primeiros termos:
Parece que a sequência está se aproximando de um certo valor. Vamos supor que ela seja limitada por .
Queremos encontrar um tal que para todo .
Assumindo que (já que será sempre menor que 3 se ).
Vamos provar isso por indução.
Base da indução: .
Hipótese de indução: Suponha que .
Passo de indução: Então,
Portanto, a sequência é limitada por 3.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência converge. Como ela é crescente e limitada, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela converge.
Vamos encontrar o limite . Sabemos que:
Resolvendo essa equação para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como a sequência é crescente e começa em 1, escolhemos a raiz positiva:

Resposta

a. A sequência é crescente e limitada.
b. A sequência converge, e seu limite é .

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Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.: 1
Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
, sendo . R.: 0
Com relação à sequência dada por: .
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Encontre os pontos de acumulação de cada sequência abaixo
R.: -1 e 1 , existe também uma subsequência se acumulando em