Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
R.: 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da sequência cujo termo geral é . Isso está relacionado com o estudo de limites de sequências e potências. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam as somas de quadrados e as raízes n-ésimas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a soma dentro da raiz. A soma dos quadrados dos primeiros números naturais é dada pela fórmula:
Essa fórmula é essencial para facilitar nossos cálculos.

Passo 3

Agora, substituímos essa soma na expressão original da sequência:
Isso nos ajuda a trabalhar com uma expressão mais manejável.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando tende ao infinito. Observando os termos de maior grau no numerador:
Então, a expressão dentro da raiz simplifica para:

Passo 5

Agora, temos:
Podemos separar a raiz:
Sabemos que e .

Passo 6

Vamos calcular os limites separados:
Sabemos que , então:
Da mesma forma, para qualquer :

Passo 7

Multiplicando os limites:

Resposta

O limite da sequência é .

Exercícios relacionados

Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por , justificando suas operações
, sendo . R.: 0
Encontre os pontos de acumulação de cada sequência abaixo
ééêéíãéê
Com relação à sequência definida por :
a. Usando o princípio da indução, mostre que ela é crescente e também que ela é limitada.
b. A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.
Com relação à sequência dada por: .
A sequência converge? Em caso afirmativo, encontre seu limite.