Calcule o limite de cada sequência com termo geral dado por
, justificando suas operações
R.: 1
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da sequência cujo termo geral é
. Isso está relacionado com o estudo de limites de sequências e potências. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam as somas de quadrados e as raízes n-ésimas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a soma dentro da raiz. A soma dos quadrados dos primeiros
números naturais é dada pela fórmula:
Essa fórmula é essencial para facilitar nossos cálculos.
Passo 3
Agora, substituímos essa soma na expressão original da sequência:
Isso nos ajuda a trabalhar com uma expressão mais manejável.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
tende ao infinito. Observando os termos de maior grau no numerador:
Então, a expressão dentro da raiz simplifica para:
Passo 5
Agora, temos:
Podemos separar a raiz:
Sabemos que
e
.
Passo 6
Vamos calcular os limites separados:
Sabemos que
, então:
Da mesma forma,
para qualquer
:
Passo 7
Multiplicando os limites:
Resposta
O limite da sequência é
.