Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
lim x 0 x cos (1x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está ligado ao conteúdo de limites em cálculo, e para resolver a gente vai precisar entender como as funções se comportam perto de um ponto, além de utilizar uma técnica chamada Teorema do Confronto (ou Teorema do Squeeze).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função -1 <= cos(1x) <= 1 . Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por - x <= x cos(1x) <= x . Como está se aproximando de 0, precisamos considerar se é positivo ou negativo. No entanto, como está tendendo para 0, fica muito próximo de 0, então o sinal não vai afetar o limite final.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema do Confronto. Sabemos que:
limx to 0 -x = 0 e limx to 0 x = 0
Como está entre e , e ambos os limites laterais são 0, pelo Teorema do Confronto, o limite da função também é 0.

Resposta

lim x 0 x cos (1x) = 0

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